Dejemos que $H$ sea hilbert y $T$ a BLO, tal que $T:H\rightarrow H$ . Demostrar que $\langle T(x),x \rangle = 0$ implica $T = 0$ .

Question

Dejemos que $H$ sea hilbert y $T$ a BLO, tal que $T:H\rightarrow H$ . Demostrar que $\langle T(x),x \rangle = 0$ implica $T = 0$ .

¿Algún consejo para solucionar este problema?

He intentado escribir x como $x = u + v$ donde $u \in Y$ y $v \in Y^T$ para algún subespacio lineal cerrado de $H$ pero no he visto nada inteligente. ¿Es inteligente intentar usar el contra positivo?

Answer 1

Desde $\langle T(x+y),x+y\rangle =0$ que implica : \begin{eqnarray} \langle T(x+y),x+y\rangle &=&\langle Tx+Ty,x+y\rangle \\ &=&\langle Tx,x+y\rangle+\langle Ty,x+y\rangle\\ &=& \langle Tx,x\rangle+\langle Tx,y\rangle+\langle Ty,x\rangle+\langle Ty,y\rangle\\ \end{eqnarray} Entonces $$ \langle T x,y\rangle +\langle Ty,x\rangle=0 \qquad (1) $$ por lo que sustituimos $y$ por $iy$ en la última igualdad obtenemos : $$ -i\langle T x,y\rangle +i\langle Ty,x\rangle=0 \qquad (2) $$ multiplicando $(2)$ por $i$ y añadir a $(1)$ obtenemos $$ \langle Tx,y\rangle=0 \qquad \forall x,y\in H $$ entonces ponemos $y=Tx$ obtenemos $\|Tx\|^2=0$ para todos $x\in H$ así que $T=0$ .