Símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas elípticas

Question

¿Alguien conoce los símbolos de Christoffel de segundo tipo para el sistema de coordenadas elípticas?

\begin{matrix} x = R\cosh(u)\cos(v)\\ y = R\sinh(u)\sin(v)\\ z = z \end{matrix}

el tensor métrico viene dado por:

$$\begin{bmatrix} R^2(\sinh^2(u)+sin^2(v)) & 0 & 0\\ 0 & R^2(\sinh^2(u)+sin^2(v)) & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$$

Los he calculado pero difieren de los publicados en el sitio web de Wolfram Mathematica. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Esto es lo que he obtenido para el elemento "u":

\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} \frac{\cosh (u) \sinh (u)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & \frac{\cos (v) \sin (v)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & 0 \\ \frac{\cos (v) \sin (v)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & -\frac{\cosh (u) \sinh (u)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación}

utilizando el paquete aquí: http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/8329

No sé si entra en conflicto con su sitio.

El elemento "v"

\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} -\frac{\cos (v) \sin (v)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & \frac{\cosh (u) \sinh (u)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & 0 \\ \frac{\cosh (u) \sinh (u)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & \frac{\cos (v) \sin (v)}{\sin ^2(v)+\sinh ^2(u)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación}