Así que soy un estudiante de secundaria y estoy atascado en una pregunta. Por favor ayuda.
$f(x)=(x-1)^2Q(x)+3x+1$
$f(x)=(x+2)Q(x)+4$
$f(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+R(x)$
Mi primer enfoque fue hacer $R(x)=ax^2+bx+c$, pronto descubrí que solo hay dos ecuaciones no tres para encontrar $a, b, c$
No entiendo cómo resolver esto.
Aquí hay otro enfoque. $$f(x)=(x-1)^2Q_1(x)+3x+1 \tag 1 $$ $$f(x)=(x+2)Q_2(x)+4 \tag 2 $$ $$f(x)=(x-1)^2(x+2)Q_3(x)+R(x) \tag 3 $$ Desde (1) y (3), $(x-1)^2$ divide a $R(x)-3x-1.$ Por lo tanto, $$R(x)=k(x-1)^2+3x+1 \tag 4$$ Por (2), $f(-2)=4.$ Por (4) y (3), $$R(-2)=9k-6+1=f(-2)=4.$$ Así, $k=1$ y $$R(x)=x^2+x+2.$$
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Supongo que no es el mismo $Q(x)$ en las tres líneas, ¿verdad? Deberías encontrar una forma menos confusa de escribirlo. Entonces, recuerda de dónde vendría la ecuación extra cuando el divisor tiene una raíz doble.
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Note que $R(x)$ dividido por $(x-1)^2$ deja un residuo de $3x+1$ y al dividir por $x+2$ deja un residuo de $4$. Eso debería ayudarte a descubrir $a, b, c$.
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Para ampliar el comentario de @dxiv: diferenciar.