Problema para encontrar una partición adecuada de la unidad

Question

Dejemos que $\{U_s\}_{s\in S}$ sea una familia de subconjuntos abiertos de $\mathbb R$ con la unión $W$ con la siguiente propiedad: para cada $x\in U_s$ tenemos $x+1, x-1\in U_s$ .

¿Existe una secuencia $\phi_1,\phi_2, \ldots$ de $1$ -periódicas, suaves, funciones no negativas con soporte compacto tales que:

1. para cada $n\in \mathbb N$ hay un $s(n)\in S$ tal que $supp \phi_n \subset U_{s(n)}$

2. $\sum_{n=1}^\infty \phi_n(x)=1$ para $x\in \mathbb R$ ,

3. para cada compacto $K\subset W$ existe un conjunto abierto $G$ tal que $G$ interseca sólo finito entre conjuntos $supp \phi_1, supp \phi_2,\ldots$ .

Answer 1

Dado que el intervalo cerrado $[0,1]$ es compacto, un número finito de $U_s$ 's, digamos $U_{s_1},\cdots, U_{s_m}$ pueden cubrirlo. Debido a la suposición, estos conjuntos abiertos cubren todo $\mathbb{R}$ también. Así que hacen una cubierta abierta para $\mathbb{R}$ .

Debido a su suposición, la imagen de los elementos de estas cubiertas abiertas bajo el mapa de cociente $\mathbb{R}\to \mathbb{T}$ , $t\mapsto e^{2\pi it}$ es una cubierta abierta para el círculo $\mathbb{T}$ .

Considere una partición de la unidad subordinada a estas cubiertas abiertas más pequeñas para $\mathbb{T}$ , digamos que $\psi_1,\cdots, \psi_m$ . El pullback de esta partición de la unidad bajo el mapa cociente anterior es la respuesta. Por el pullback de $\psi_i$ Me refiero a la función definida por $\phi_i(x):=\psi_i(e^{2\pi ix})$ para todos $i=1,\cdots,m$ .

Recuerda que dicha partición de la unidad tiene que ser finita y la última parte de la pregunta se deduce automáticamente de la construcción.

Edición: La respuesta anterior es correcta sólo si $W=\mathbb{R}$ y sólo en este caso la cubierta abierta más pequeña es finita. Cuando $W\neq \mathbb{R}$ se puede comprobar que la imagen de $W$ bajo el mapa de cociente, digamos $\overline{W}$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{T}$ y en lugar de una cobertura finita para $\mathbb{T}$ es necesario considerar una cobertura infinita para $\overline{W}$ y encontrar una partición subordinada de la unidad con respecto a esta cubierta abierta infinita, digamos $\{ \psi_i\}_{i=1}^\infty$ y luego tomar el pullback de esta partición de la unidad.