Demostrar que $\int_0^1\frac{x^y-1}{\log x}\mathrm dx=\log(1+y)$

Question

El título lo dice todo: actualmente no encuentro una buena manera de empezar. Intenté reescribirlo en una integral de línea, pero realmente no veo una manera de resolver esto ahora mismo. Agradecería cualquier pista.

Answer 1

Dejemos que $$I = \int_{0}^{1}\frac{x^y-1}{\ln x}dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}x^{z}dzdx$$

Así que $$I = \int_{0}^{y}\int_{0}^{1}x^{z}dxdz = \int_{0}^{y}\left[\frac{x^{z+1}}{z+1}\right]_{0}^{1}dz = \int_{0}^{y}\frac{1}{z+1}dz$$

Así que $$I = \left[\ln|z+1|\right]_{0}^{y} = \ln|y+1|$$

Answer 2

Hay bastantes maneras de probar esto, pero a mí personalmente me gusta esta.

$$I(y)=\int_0^1\frac{x^y-1}{\log x}\mathrm dx$$ $$\frac{\mathrm dI(y)}{dy}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_0^1\frac{x^y-1}{\log x}\mathrm dx=\int_0^1\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^y-1}{\log x}\right)\mathrm dx=\int_0^1x^y\mathrm dx=\frac{1}{1+y}$$ $$I(y)=\int\frac{\mathrm dy}{1+y}=\log(1+y)+C$$ Viendo que $I(0)=0=C$ da el resultado deseado.

Answer 3

$$\int_0^1\frac{x^y-1}{\log x}\mathrm dx=\int_0^1 \frac{x^y}{\log x}dx - \int_0^1 \frac{1}{\log x}dx = li (x^{y+1}) -li(x)|^1_0$$

$li(x)$ expansión de la serie en $x = 1$ :

$$li (x) = log(x-1) + \gamma + O(x-1) $$

$$li(0) = 0$$

$li(1)$ es indefinido

el límite superior debe ser $$lim_{x \to 1} (li(x^{y+1}) -li(x)) = lim_{x \to 1} [log(x^{y+1}-1) - log(x-1) + O(x-1)] =lim_{x \to 1} [log(\frac{x^{y+1} - 1}{x-1}) +O(x-1)] $$

Por norma de L-Hospital: $$lim_{x \to 1} \frac{x^{y+1} - 1}{x-1} = (y+1)x^y$$

En conclusión: $lim_{x \to 1} (li(x^{y+1}) -li(x)) = lim_{x \to 1} [log((y+1)x^y) +O(x-1)] = log(y+1)$

$$\int_0^1\frac{x^y-1}{\log x}dx =log(y+1) $$

Answer 4

Una forma sencilla es aplicar la sustitución $x=e^{-t}$ entonces aplique Teorema de Frullani .