Fijemos una opción de $n$ . Nótese que podemos elegir una secuencia de enteros positivos $m_k$ , de tal manera que $m_k/n_k\to 1/n.$ Nuestro objetivo es demostrar que existe una subsecuencia de $j_k$ , de tal manera que $\phi_{n_{j_k}}^{m_{j_k}}\to \phi$ uniformemente en subconjuntos compactos a algún $\phi$ con $\phi^n=f$ . Por el Teorema de Levy, esto es suficiente.
Ahora, por continuidad de $f$ y el hecho de que $f(0)=1$ hay una opción de $\epsilon>0$ tal que $\text{Re}(f(x))>0$ para $x\in (-\epsilon,\epsilon)$ . En esta región, podemos encontrar funciones continuas $\theta(x)\in (-\pi,\pi),$ y $r(x)>0$ tal que $$f(x)=r(x)\exp(i\theta(x)).$$ Como $\phi_{n_k}(0)=1$ por continuidad, vemos que para $x\in (-\epsilon,\epsilon)$ $$\phi_{n_k}(x)=r(x)^{1/n_k}\exp(i\theta(x)/n_k).$$
De ello se desprende que para $x\in (-\epsilon,\epsilon)$ tenemos que $\phi_{n_k}^{m_k}$ son equicontinuos alrededor de $(-\epsilon,\epsilon)$ .
Ahora, observe que el módulo de continuidad de una función definida positiva $f$ está controlada por la que rodea al original. De ello se desprende, por ejemplo, la respuesta a este implica que $$(2-\text{Re}(f(h)))\ge |f(t+h)-f(t)|^2.$$ Así, la secuencia $\phi_{n_k}(x)^{m_k}$ son uniformemente equicontinuos. Por tanto, por el teorema de Arzela-Ascoli, existe una subsecuencia $j_k$ , de tal manera que $\phi_{n_{j_k}}^{m_{j_k}}\to \phi$ uniformemente para algunos continuos $\phi$ .
Este último hecho se desprende del siguiente y sencillo ejercicio de determinación: Para cualquier $a\in \mathbb{C}$ y cualquier opción, $a_{n_k}\in \mathbb{C}$ , de tal manera que $a_{n_k}^{n_k}=a$ tenemos que $(a^{m_k}_{n_k})^n\to a$
