diámetro y radio de un gráfico regular

Question

Estoy tratando de encontrar el radio y el diámetro de una gráfica regular $G$ con $d(v_i) < (n-1)/2$ . Sé que para $d(v) \geq (n-1)/2$ , $\rm{diam}(G) \leq 2$ y $\rm{radius}(G)=\rm{diam}(G).$ Si no estamos tomando los gráficos completos.

No soy capaz de hacer lo mismo para los gráficos regulares de valencia menor que $(n-1)/2$ .

¿Hay gráficos regulares $G$ para los que el diámetro y el radio son iguales y tienen valencia menor que $(n-1)/2$ . ? ¿Puede alguien ayudarme? ¿Alguna pista o sugerencia para proceder? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Existen estos gráficos.

Te daré una pista.

Pista 1. ¿Qué gráfico es el primero en el que debes pensar cuando intentas encontrar un contraejemplo o refutar algo?

Pista 2. 10 vértices, 3 regulares.

Answer 2

1- Cubo

2- considera tres triángulos y tres vértices y conecta cada vértice de los triángulos con uno de los tres vértices. $\text{Diam}=R=k=3$