Cómo hacer que un ángulo sea suave

Question

Supongamos que nos dan en $R^2$ un ángulo ACB y un círculo centrado en C, como muestra la siguiente imagen.

¿Cómo podemos "dibujar" un $C^1$ curva que contiene los segmentos fuera del círculo y la parte AB estaría dentro del círculo y del ángulo al mismo tiempo?

Answer 1

Puedes resolver fácilmente un polinomio cuadrático que hará que este $C^1$ (o, de hecho, un polinomio cuaternario que lo haga $C^2$ ). Simplemente tome $y=f(x)=ax^2+bx+c$ , set $f(\pm x_0)=0$ y $f'(\pm x_0) = \mp m$ . Tiene que especificar $x_0$ y $m$ adecuadamente para asegurarse de que la curva se mantiene por debajo de $C$ . (Aquí estoy tomando el $x$ -coordinación de $C$ para ser $0$ y el $x$ -coordenadas de $A$ y $B$ para ser $\pm x_0$ respectivamente).

Answer 2

Les presento: el Curva de Bézier .

Parametrizamos la curva con un valor de tiempo $t$ que varía de $0$ a $1$ . Entonces, para encontrar un punto en la curva, generamos puntos: $$D_t = (1-t)A+tC$$ $$E_t = (1-t)C+tB$$ $$F_t = (1-t)D_t+tE_t$$

El lugar de $F_t$ al variar $t$ es entonces nuestra curva.

Aquí está una curva de Bézier, dibujada con 16 segmentos.

Si quieres más control, puedes cambiar a curvas racionales de Bézier que funcionan aproximadamente igual, pero incluyen un peso con cada punto de control. Entonces tenemos, con los pesos $a$ , $b$ y $c$ correspondientes a los tres puntos de control anteriores: $d_t = (1-t)a + tc$ etc., reflejando las ecuaciones de control de antes. Entonces nuestros puntos finales en la curva son $$F^*_t = \frac{F_t}{f_t}$$ Esto equivale a colocar nuestros puntos de control en coordenadas homogéneas con diferentes $w$ valores. En todos los casos con pesos no nulos, las curvas resultantes son tangentes a las líneas entre los puntos de control en los extremos. Hay un valor de peso que hace que la curva sea un arco circular, igual al seno de la mitad del ángulo en el centro.

Aquí hay una serie de curvas racionales de Bézier, con pesos en los extremos $1$ y el peso del punto de control central varía de $0.1$ a $10$ .

Answer 3

Ya tienes las pendientes y los valores de la curva deseada en A y B. Elige un punto P dentro del círculo y por debajo de C.

Encuentra un polinomio de cuarto grado con la información dada y ya está.