Solución de una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden

Question

Tengo una EDP de la forma

$$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 = f(x,y)$$

y estoy buscando una forma de solucionarlo. He probado el Método de las Características para el mismo pero las ecuaciones de Lagrange-Charpit resultan igualmente complicadas. Estoy buscando principalmente un método analítico para resolverlo. Cualquier ayuda o sugerencia será apreciada. Gracias

Answer 1

Como se propone aquí Utilicemos el hecho de que $u_y = \pm\sqrt{f-u_x^2}\,$ para calcular $$ u_{yx} = \frac{f_x-2u_xu_{xx}}{\pm 2\sqrt{f-u_x^2}}\, . $$ Este paso equivale a diferenciar la EDP original con respecto a $x$ . Si sustituimos $v=u_x$ entonces tenemos $$ vv_{x} \pm\sqrt{f-v^2}\,v_{y} = \tfrac12 f_x $$ para soluciones suficientemente suaves. Para esta EDP cuasi-lineal de primer orden, las ecuaciones de Lagrange-Charpit son $$ \frac{\text d x}{v} = \frac{\text d y}{\pm\sqrt{f-v^2}} = \frac{\text d v}{\tfrac12 f_x} $$ de la que obtenemos las siguientes familias características:

• $f_x\,\text d x = 2 v\,\text d v$ da $f-v^2 = c_1^2$ con $c_1 = u_y$
• $f_x\,\text d y = 2 c_1\,\text d v$ da $\int^y f_x(x,\eta)\,\text d\eta - 2 c_1 v = c_2$

Así, podemos escribir \begin{aligned} |u_y| &= F\big(\textstyle\int^y f_x(x,\eta)\,\text d\eta - 2 u_y u_x\big) \\ |u_x| &= \sqrt{f - u_y^2} \end{aligned} para algunos $F$ . Una vez que $u_x$ , $u_y$ se determinan, queda por integrar para encontrar $u$ . Se pueden obtener soluciones analíticas totalmente explícitas para algunas funciones particulares $f$ y para algunas condiciones de contorno particulares. Obsérvese que se trata de una ecuación eikonal, para la que se conocen algunas soluciones particulares (véase, por ejemplo este puesto , este puesto y las vinculadas).

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Nota: Aquí, sólo las verdaderas incógnitas $u$ se consideraron. También puede haber soluciones complejas.