Relaciones de equivalencia efectivas en un topos

Question

Tengo una pregunta sobre la prueba de Johnstone (en Teoría del Topo o el Elefante; los relatos son esencialmente los mismos, por lo que puedo decir) que las relaciones de equivalencia interna en un topos son efectivas. En particular, todavía no veo por qué (para $\overline{\phi}$ la transposición exponencial del mapa clasificador $\phi: X \times X \to \Omega$ para la relación de equivalencia $ R \overset{(a,b)}{\hookrightarrow} X \times X$ ) el diagrama $$ R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X \overset{\overline{\phi}}{\to} \Omega^X$$ conmuta. Johnstone afirma que los subobjetos $S_a$ y $S_b$ clasificado por $\phi(a \times X)$ y $\phi(b \times X)$ son ambos isomorfos a "el objeto de $R$ -relacionados con los triples" $T$ que no es más que el pullback de $R \overset{a}{\to} X$ y $R \overset{b}{\to} X$ . En el Elefante, se afirma que estas dos plazas son pullbacks (donde $A$ sustituye a $X$ , $t$ es testigo de la transitividad, y $p$ y $q$ son las proyecciones de $T$ ):

Estoy de acuerdo en que conmutan y que si son pullbacks, la conclusión es la siguiente. ¿Cómo se ve que son retrocesos? ¿Y dónde entran en juego exactamente la simetría interna y la transitividad para demostrarlo?

Answer 1

Un relato completo y muy lúcido se encuentra en la obra de Borceux Manual de álgebra categórica El libro de la Comisión Europea, volumen 3, 5.9.6, algunas de cuyas partes utilizaré para responder a esta pregunta.

Noción 1. Un relación de equivalencia interna en un objeto $X$ de una categoría finitamente completa $\mathbf{C}$ es un par de mapas $R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X$ tal que:

• $R \overset{(a,b)}{\to} X$ es mono.

• El mapa diagonal $X \overset{\Delta}{\to} X \times X$ factores a través de $(a,b)$ .

• Existe un mapa $s: R \to R$ tal que $as = b$ y $bs = a$ .

• Existe un mapa $t : R \times_X R \to R$ de manera que para las proyecciones $a', b'$ en el cuadrado de la retirada $$\require{AMScd} \begin{CD} R \times_X R @>a'>> R \\ @Vb'VV @VaVV\\ R@> \hspace{10mm}b \hspace{10mm}>>X\end{CD}$$

  $at = ab'$ y $bt = ba'$ .

Noción 2. Un relación de equivalencia interna en un objeto $X$ de una categoría finitamente completa $\mathbf{C}$ es un par de mapas $R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X$ tal que para cada objeto $U \in \mathbf{C}$ la relación inducida $$R_U \overset{\operatorname{df}}{=} \big\{(af,bf) \operatorname{ | } f \in \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(U,R)\big\}$$ en $\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(U,X)$ es una relación de equivalencia en el sentido habitual.

Propuesta 1. Las dos nociones de relación de equivalencia interna dadas anteriormente son equivalentes.

Prueba. Denote el producto de la fibra $R \times_X R$ por $a \times b$ . La reflexividad: si $(R,a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 2, entonces $\left(\operatorname{id}_X, \operatorname{id}_X)\right) \in R_X$ . Esto significa que debe existir algún $r : X \to R$ que es una sección para ambos $a$ y $b$ . Escribiendo el diagrama, se ve que por la unicidad de los mapas cónicos a un límite, $\Delta : X \to X \times X$ factores en $(a,b) \circ r$ .

Si $(R,a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 1, entonces para cualquier $f : U \to X$ , $$U \overset{f}{\to} X \overset{r}{\to} R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X$$ testigos que $(f,f) \in R_U$ .

Simetría: Del mismo modo, si $(R,a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 2, entonces la simetría de $R_R$ implica que $(a,b)$ y $(b,a)$ están en $R_R$ de modo que, en particular, existe algún $s : R \to R$ tal que $as = b$ y $bs = a$ que satisface la noción 1.

Si $(R,a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 1, entonces para cualquier $f: U \to R$ que se convierte en $(a \circ f, b \circ f)$ en $R_U$ , $$U \overset{f}{\to} R \overset{s}{\to} R$$ se convierte en $(b \circ f, a \circ f)$ en $R_U$ .

Transitividad: Ahora debemos utilizar la completitud finita de $\mathbf{C}$ . (En Borceux, se demuestra que podemos debilitar la completitud finita a sólo la existencia de pullbacks de epimorfismos fuertes). Si $(R, a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 2, consideremos los diagramas $$a \times b \overset{a'}{\to} R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X$$ y $$a \times b \overset{b'}{\to} R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X,$$ que nos dicen que $(aa',ba')$ y $(ab',bb')$ están en $R_{a \times b}$ . Por definición, $aa' = bb'$ por lo que por la transitividad de $R_{a \times b}$ , $(ba', ab') \in R_{a \times b}$ que debe ser presenciado por algunos $t$ satisfaciendo los requisitos de la noción 1.

Por otro lado, si $(R,a,b)$ es una ER en el sentido de la noción 1, y tenemos $f,g : U \to R$ tal que $(af, bf)$ y $(ag,bg)$ están en $R_U$ con $bf = ag$ entonces podemos formar el diagrama conmutativo

donde $u$ es el único mapa cónico hacia $a \times b$ . Formando $$U \overset{u}{\to} a \times b \overset{t}{\to} R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X$$ produce $(ab'u, ba'u) = (af,bf) \in R_U$ Así que $(R,a,b)$ es transitiva en el sentido de la noción 2, como se requiere. $\square$

Ahora podemos mostrar:

Propuesta 2. El diagrama $$R \overset{a}{\underset{b}{\rightrightarrows}} X \overset{\overline{\phi}}{\to} \Omega^X$$ como en la pregunta anterior conmuta.

Prueba. Tomando las transposiciones producto-exponencial, esto equivale a mostrar que $\phi(b \times X)$ y $\phi (a \times X)$ clasifican el mismo subobjeto de $R \times X$ . Por lo anterior, $R$ induce relaciones de equivalencia $R_U$ en $\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(U,X)$ para cada $U \in \mathbf{C}$ . Componer por $(a,b) \times X$ vemos que un mapa $U \to R \times X$ equivale a especificar tres morfismos $f_1, f_2 f_3 \in \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(U,X)$ tal que $f_1 \sim_{R_U} f_2$ . Examinar el diagrama

(respectivamente, el de $S_a$ cambiado por $S_b$ y $\pi_2$ cambiado por $\pi_1$ ), vemos que un mapa $U \to R \times X$ factores a través de $S_a$ (resp. $S_b$ ) precisamente cuando $f_1 \sim_{R_U} f_3$ (resp. $f_2 \sim_{R_U} f_3$ .) Por simetría y transitividad de $R_U$ , $S_a$ y $S_b$ se atraviesan mutuamente y, por lo tanto, son el mismo subobjeto. $\square$