Integrabilidad de Lebesgue de $\ f$ y $\ f^{-1}$

Question

Supongamos que $\ f:\ X\rightarrow(0,\infty)$ es una función medible.

Si $$\int_{X} f\ d\mu<\infty\ $$ y $$\int_{X} \dfrac1f\ d\mu<\infty$$ Demostrar que $\mu(X)<\infty$ .

Answer 1

La insinuación de Daniel Fischer da en el clavo: $$2\mu(X)\le \int_X (f+f^{-1}) <\infty$$ O, si uno tiene ganas de usar un resultado (mal llamado), la desigualdad de Cauchy-Schwarz produce $$\mu(X) =\int_X f^{1/2}f^{-1/2} \le \sqrt{\int_X f}\sqrt{\int_X f^{-1}}<\infty$$