Ayuda para entender la velocidad de la luz en medios con índice de refracción < 1

Question

He leído las explicaciones habituales al respecto, pero sigo teniendo problemas para convencerme de que la información no se propaga a una velocidad superior a c en medios con un índice de refracción inferior a la unidad (donde c es la velocidad de la luz en el vacío). Me encuentro con problemas cuando intento pensar en ello matemáticamente. En este caso, mi pregunta se refiere a la velocidad de fase. Entiendo el argumento de que una velocidad de onda dada corresponde a la luz monocromática y que esto implica una onda sinusoidal infinitamente larga y por lo tanto no se transmite información. Pero he tenido un experimento mental que ingenuamente parece entrar en conflicto con ese argumento y necesito ayuda para entender en qué me estoy equivocando. Consideremos un pulso de onda de la forma

$f(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left (k \right )e^{i\left ( kx-\omega(k) t \right )}dk$

(ecuación 1)

Y digamos que en el tiempo t=0, jugamos a ser Dios y de alguna manera creamos un pulso de luz exactamente un período completo de una onda sinusoidal:

$f(x,0)=1+cos(kx)$

entre $-\frac{\pi}{k} \leq x \leq \frac{\pi}{k}$

y

$f(x,0)=0$

para $x <-\frac{\pi}{k}$ y $ \frac{\pi}{k} < x$

Matemáticamente deberíamos ser capaces de hacerlo como lo hemos hecho:

$f(x,0)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left (k \right )e^{i\left ( kx \right )}dk$

y deberíamos ser capaces de encontrar $g(k)$ tomando la transformada de Fourier de $f(x,0)$

La cuestión es que se trata de un pulso localizado. Y a continuación dejamos que este pulso se propague en el tiempo t. Según la ecuación 1 tenemos efectivamente la suma de ondas monocromáticas puras infinitamente amplias, donde en cada caso , su velocidad de propagación está determinada por:

$v_{p}=\omega(k)/k$

donde k es el número de onda y $\omega$ es la frecuencia angular que depende de k. Y para al menos cierto rango de k tenemos $v_{p}\geq c$

Mi problema es el siguiente:

Podemos afirmar que cada onda es monocromática e infinitamente amplia y, por lo tanto, no lleva información. Pero comenzamos con un pulso localizado, y este pulso comenzará a moverse en la dirección +x (aunque disperso). Entonces, en algún momento $ X > \frac{\pi}{k}$ y un cierto tiempo T encontraremos que

$f(X,T) \neq 0$

en un tiempo $T < \frac{X-\frac{\pi}{k}}{c}$

Entonces, ¿no se propaga realmente la información? ¿Y no se propaga parte de ella a velocidades > c?

¿En qué me estoy equivocando? Tal vez la respuesta podría ser que es físicamente absurdo construir una onda de esta manera. También me doy cuenta de que en realidad hay dos campos $B(x,t)$ y $E(x,t)$ y no una función escalar $f(x,t)$

Answer 1

Un pulso localizado no se propaga a la velocidad de fase, $v_p=\omega/k$ pero a la velocidad del grupo, $v_g=\frac{d\omega}{dk}$ .

Answer 2

Lo único que no se puede superar es la velocidad de la luz en el espacio. En un medio puede ocurrir:

La radiación Cherenkov (pronunciación: /tʃɛrɛnˈkɔv/) es una radiación electromagnética emitida cuando una partícula cargada (como un electrón) atraviesa un medio dieléctrico a una velocidad superior a la velocidad de fase de la luz en ese medio. El brillo azul característico de un reactor nuclear submarino se debe a la radiación Cherenkov.

En la física clásica cuando la velocidad del sonido en un medio es superada por la velocidad de un proyectil se obtiene el boom sónico.