Si X es una variable aleatoria continua, ¿bajo qué condiciones es cierta la siguiente condición E[|x|] = E[x] ?
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kjetil b halvorsen
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Si $X$ sólo toma valores no negativos, entonces $X=|X|$ siempre. Y supongo que si toma valores negativos sólo en un conjunto de medida cero también es cierto que $E[|X|]=E[X]$ pero deberías probarlo adecuadamente. - Anna SdTC
Pista: por definición, $E(X)=E(X^+)E(X^)$ donde $X^+=(|X|+X)/2$ y $X^=(|X|X)/2$ . (Ambas expectativas implican variables aleatorias no negativas. Esta identidad nos permite extender la definición de integrales de variables aleatorias no negativas a integrales de cualquier variable aleatoria). Su condición implica $E(X)=E(X^+)$ Así que puedes deducir inmediatamente $E(X^)=0$ . ¿Qué se puede decir de cualquier variable aleatoria no negativa cuya expectativa sea cero? - whuber
qwr
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$$ E[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx = \int_{-\infty}^0 x f(x) dx + \int_0^\infty x f(x) dx $$
$f(x)$ es una densidad no negativa por lo que $x f(x) \ge 0$ si $x \ge 0$ y $x f(x) \le 0$ si $x \le 0$ . Así, la primera integral es $\le 0$ y la segunda integral es $\ge 0$ . Intuitivamente, los valores positivos de $X$ tiran de la media hacia arriba y los valores negativos de $X$ tirar de la media hacia abajo.
Para $E[|X|]$ podemos utilizar la Ley del Estadístico Inconsciente para descubrir que estamos integrando sobre $|x| f(x)$ que siempre es no negativo. Entonces deberías ser capaz de determinar cuándo $E[|X|] = E[X]$ .
