En esta aproximación de $\pi$ ¿necesita saber $\pi$ ¿hacer estos cálculos?

Question

$\pi = 2n\dfrac{\cos (x)}{\sin (x)+1}$

donde $x = 90°\dfrac{n-2}{n}$

y $n \to \infty$

A un estudiante de secundaria se le ocurrió la idea de esta aproximación de $\pi$ y yo ayudé a desarrollarlo. Se basa en un polígono inscrito. ¿Es una definición circular? ¿Requiere el conocimiento del valor de $\pi$ para trabajar?

Answer 1

Con algunas identidades trigonométricas podemos reescribir esto como $\pi=\lim_{n\to\infty}n\tan\frac{\pi}{n}$ que no requiere conocimientos de $\pi$ siempre que consideremos valores de $n$ que son potencias de $2$ . La idea es que $\tan 2x =\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ implica $$\tan 2x\tan^2 x +2\tan x - \tan 2x=0,\,\tan x =\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2 2x}}{\tan 2x}$$ para los pequeños $x>0$ . (El signo utilizado en la fórmula cuadrática se deduce de $\tan 2x \approx 2x,\,\tan x \approx x.$ ) Ahora utilice $\tan\frac{\pi}{4}=1$ para calcular $\tan\frac{\pi}{2^k}$ para $k\ge 3$ . Mientras que el caso $k=2$ da $\pi\approx 4\cdot 1 = 4$ , $k=3$ da $\pi\approx 8\cdot(\sqrt{2}-1)\approx 3.3$ .

¿Qué tan buena es esta aproximación? Escribir $n=2^k$ tenemos $$n\tan\frac{\pi}{n}\approx n(\frac{\pi}{n}+\frac{1}{3}(\frac{\pi}{n})^3)=\pi+\frac{\pi^3}{3n^2}=\pi+\frac{\pi^3}{3\cdot 4^k},$$ así que para conseguir $d$ decimales a la derecha requiere $k\approx d\dfrac{\log 10}{\log 4}$ .

Answer 2

Editado en serio: Como $x$ en su fórmula está en grados, depende de si puede calcular $\sin$ y $\cos$ a algo que depende de $x$ sin saber $\pi$ . En general no creo que sea posible, pero como señala crivair en un comentario tanto debajo de la pregunta como de esta respuesta, podemos demostrar que la expresión se puede calcular (aunque no se dice nada sobre lo fácil que es) con seguridad $n$ 's.

Y luego unas palabras sobre la terminología: $\pi$ tiene una definición bien conocida y breve: La relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.

Deberías no ir a inventar otras definiciones, eso es como definir que tu manzana es azul, por lo que esto no debe ser considerado como una definición, pero es un límite que podría teóricamente (pero como se señaló, en la práctica podría no ser muy bueno) para calcular $\pi$ .

Con la terminología en su sitio: Los únicos métodos que conozco para calcular $\sin$ y $\cos$ utiliza series infinitas (y asume que el argumento está en radianes, y necesita saber $\pi$ para convertir entre grados y radianes), si eso es todo lo que puedes encontrar que funcione en tu caso, tendrás dos sumas infinitas, por lo que obtener un buen valor para $\pi$ de su límite no sólo requerirá elegir $n$ suficientemente grande, también requiere que se calculen esas sumas con una precisión suficientemente alta.

Answer 3

Esto se parece un poco al Arquímedes $\pi$ ¡cálculo! En primer lugar, ya que $$\begin{align}\sin\left(90°\frac{n-2}n\right)&=\sin\left(90°-90°\frac2n\right)=\cos\left(90°\frac2n\right)=\cos\left(\frac{\pi}n\right)\\ \cos\left(90°\frac{n-2}n\right)&=\cos\left(90°-90°\frac2n\right)=\sin\left(90°\frac2n\right)=\sin\left(\frac{\pi}n\right)\end{align}$$ Así que voy a escribir su fórmula como $$\pi=2n\frac{\sin\left(\frac{\pi}n\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi}n\right)}=2n\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)$$ Veamos una imagen de lo que esto significa geométricamente:

En la figura anterior, $A+B$ es la superficie del sector $AQT$ del círculo unitario del ángulo $\theta$ Así que $A+B=\frac12\theta$ . $A$ es el área del triángulo $OPT$ por lo que tiene área $\frac12\sin\theta\cos\theta$ . $A+B+C+D+E$ es el área del triángulo $OQS$ por lo que tiene área $\frac12\tan\theta$ . Por contención $$\frac12\sin\theta\cos\theta\le\frac12\theta\le\frac12\tan\theta$$ Si multiplicamos por $4$ tenemos $$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta\le2\theta\le2\tan\theta$$ Sustitución de $\theta$ por $\frac{\theta}2$ llegamos al resultado que nos hemos propuesto: $$\sin\theta\le\theta\le2\tan\left(\frac{\theta}2\right)$$ Así que lo que hace tu fórmula es aproximar $\frac{\pi}n\approx2\tan\left(\frac{\theta}2\right)$ . Así que es una aproximación razonable y del orden de la magnitud de la original de Arquímedes, pero mirando la figura podemos hacerlo mejor. Consideremos la parábola $$x=1-\frac12\sec^2\left(\frac{\theta}2\right)y^2$$ Dónde $x$ es la distancia horizontal desde $O$ y $y$ es la distancia vertical desde $O$ por lo que también $Q$ . Apenas se puede ver la astilla de la zona $C$ entre el arco parabólico $QT$ y arco circular $QT$ y el área del triángulo $TRS$ tiene área $E$ de $$\frac12(1-\cos\theta)(\tan\theta-\sin\theta)=\frac12\tan\theta(1-\cos\theta)^2=2\tan\theta\sin^4\left(\frac{\theta}2\right)$$ Así que descuidar las áreas $C$ y $E$ tenemos de La fórmula de medición para un arco parabólico $$B\approx B+C=2D\approx2(C+D+E)$$ $$\begin{align}\frac14\sin2\theta+2D&=A+B+C\approx A+B=\frac{\theta}2\\ &=A+B+C+D+E-(C+D+E)\\ &\approx A+B+C+D+E-D\\ &=\frac12\tan\theta-D\end{align}$$ Así que entonces $$\frac14\sin2\theta\left(\frac12\tan\theta\right)^2\approx\left(\frac{\theta}2-2D\right)\left(\frac{\theta}2+D\right)^2=\frac18\theta^3-\frac32D^2\theta-2D^3$$ Así que al sustituir $\theta$ por $\frac{\theta}2$ una vez más vemos que $$\theta\approx\sqrt[3]{4\sin\theta\tan^2\left(\frac{\theta}2\right)}$$ Debería ser una mejor aproximación. Veamos cómo funciona en la práctica: $$\begin{array}{r|l|ll}n&\theta&2n\tan\frac{\theta}2&n\sqrt[3]{4\sin\theta\tan^2\frac{\theta}2}\\\hline2&1.570796&4.00000000&3.174802103936399\\ 4&0.785398&3.31370850&3.143338840697821\\ 8&0.392699&3.18259788&3.141697707414082\\ 16&0.196350&3.15172491&3.141599158903353\\ 32&0.098175&3.14411839&3.141593059237774\\ 64&0.049087&3.14222363&3.141592678928243\\ 128&0.024544&3.14175037&3.141592655173220\\ 256&0.012272&3.14163208&3.141592653688754\\ 512&0.006136&3.14160251&3.141592653595979\\ 1024&0.003068&3.14159512&3.141592653590180\\ \end{array}$$ Así que esta consideración de los tamaños relativos de las áreas $B$ y $C+D+E$ nos hizo ganar el doble de cifras significativas.