¿Qué significa la notación teórica de conjuntos {}=0 y {{}}=1?

Question

Los teóricos de conjuntos muy inteligentes me dicen que 0={} y 1={}}. Ante todo no estoy diciendo que esto sea falso, simplemente soy un tipo bastante tonto y estúpido que no puede manejar este concepto en su cabeza. Así que mi pregunta es bastante directa, por qué 0={}, 1={}}, 2={{}} y así sucesivamente...

Por ejemplo si lo ponemos en una afirmación verdadera sobre los números naturales no tiene sentido: 4×2=8 ¿significa que {{{{{}}}}}×{{}}}={{{{{{{{{}}}}}}}}}? El único concepto de "multiplicación" de conjuntos es el producto cartesiano, pero desgraciadamente no lo conozco... También si tenemos 6/2=3 ¿significa que {{{{{{{}}}}}}}/{{}}}={{{{}}}}? Entonces, ¿hay algún tipo de "división" del conjunto?

Además, ¿por qué se piensa que un "número" es un conjunto?

O es que soy yo el que entiende mal las cosas aquí tal vez "asignamos" un número natural a un conjunto, es decir por ejemplo: 1{{}}, pero entonces ¿qué significa "asignar" y cómo se definen los números naturales en primer lugar?

Por favor, acláreme estos conceptos y le estaré profundamente agradecido :) ¡Gracias!

Answer 1

Hay dos puntos aquí:

1. Hay dos maneras de ampliar la idea de que $0=\varnothing$ y $1=\{\varnothing\}$ . Ya sea tomando $n+1=\{n\}$ o tomando $n+1=n\cup\{n\}$ (donde $n+1$ en realidad sólo significa "el sucesor de $n$ ", sé que aún no hemos definido la adición).

   El primero fue utilizado por Zermelo, originalmente, y el segundo por von Neumann, y es el estándar moderno para representar los números naturales con conjuntos. Nótese que en esta representación, el producto cartesiano casi define el producto Mientras que $2\times 4$ no es exactamente $8$ podemos decir que es $8$ diciendo que $m\cdot n=k$ si y sólo si existe una biyección entre los conjuntos $m\times n$ y $k$ .

2. En cualquier caso, no toda multiplicación tiene que ser el producto cartesiano. Hay otras definiciones que podemos utilizar. Además, no toda noción de producto tiene que coincidir con cualquier otra noción "natural" de producto.

   Más concretamente, dado un conjunto que representa los números naturales, el producto es simplemente una función que toma dos variables como entrada y devuelve un número natural (o un objeto que representa uno). Esta función puede ser prácticamente cualquier cosa, siempre que satisfaga ciertas propiedades básicas. Como se ha señalado anteriormente, en la interpretación de von Neumann de los números naturales como conjuntos tenemos una forma bastante fácil de definir la multiplicación.

Por último, permítanme añadir que no "pensamos que un número es un conjunto". Podemos utilizar la teoría de conjuntos para interpretar muchas, si no todas, las teorías matemáticas. Esto tiene beneficios fundacionales. Ya que significa que mientras creas que la teoría de conjuntos es consistente, todo lo que puedas construir dentro de ella es consistente. En particular los números naturales, los números reales, etc. La teoría de conjuntos es una elección natural, puesto que ya utilizamos mucho los conjuntos de todos modos. Así que en la teoría de conjuntos realmente reducimos el número de tipos de objetos de los que nos preocupamos (desde un punto de vista fundacional. Esto es como si no importara el tipo de variable que utilizas en C++, el ordenador acaba interpretando esto como una cadena binaria de corriente eléctrica, y no como objetos físicamente diferentes).

Answer 2

Las definiciones en cuestión parecen ser para los ordinales de von Neumann. Por definición, cada ordinal es el conjunto de sus predecesores, así que (por ejemplo):

$$0=\{\}\\1=\{0\}=\{\{\}\}\\2=\{0,1\}=\{\{\},\{\{\}\}\},$$ y así sucesivamente. (Nótese que la definición de $2$ es no el mismo que usted dedujo).

El artículo de Wikipedia sobre la aritmética ordinal es bastante sencillo y comprensible. Échale un vistazo a ver qué te parece. Si tienes preguntas específicas, no dudes en decírmelo.

Answer 3

No puedo estar totalmente de acuerdo con @BadZen. Sí, en la práctica la mayoría de los matemáticos "en activo" rara vez se preocupan por cuestiones fundamentales como éstas y los números "naturales" nos parecen "obvios". (Insertar el famoso Cita de Kronecker aquí). Pero la historia del análisis ha demostrado que se necesitaba una definición clara de los números reales antes de poder dar pruebas rigurosas de varios resultados básicos. (¿Era realmente necesario este rigor? Bueno, incluso un genio como Euler cometió algunos errores embarazosos que hoy en día cualquier estudiante podría detectar. No porque fuera tonto, sino porque algunas de las cosas que trataba simplemente carecían de una definición clara).

Así que, históricamente, no fue que los "enunciados pegajosos" surgieran de la nada y luego, sólo por diversión, un montón de tipos inteligentes dejaran de trabajar en matemáticas "serias" para ocuparse de los fundamentos durante medio siglo, sino que fue al revés: Resultó que la forma "ingenua" de tratar los conjuntos que se utilizó, por ejemplo, para introducir nociones como los cortes de Dedekind, condujo a inconsistencias y amenazó con matar todo el proyecto. Por eso, la gente inventó ZF y demás. (Y luego vino Gödel, pero esa es otra historia).

No sólo Kronecker hace más de cien años afirmó que $\pi$ no existe, incluso hoy en día hay matemáticos serios que no "creen" en los números irracionales y/o en los conjuntos infinitos, por lo que estas cuestiones están lejos de estar resueltas.

Y, ya que estamos, ¿es realmente tan "obvio" lo que es un número natural? Usted "sabe" lo que denotan símbolos como "4", "IV", "cuatro", o tal vez "vier", pero ¿ha visto ¿tal cosa? Usted tiene un concepto abstracto de "cuaternidad" (4 manzanas, 4 coches, 4 planetas), pero ¿implica eso que "4" existe y qué es lo que existencia ¿realmente significa en este caso? ¿Es la existencia de "4" más obvia que la existencia de " $\pi$ "?

Hay, por cierto, un nuevo libro muy bueno sobre cuestiones como estas (y su historia) de John Stillwell llamado Las cifras reales - Muy recomendable (como todos los libros de Stillwell).

Answer 4

Así que, históricamente, a causa de varios enunciados pegajosos que podemos escribir y que no tienen sentido (la paradoja de Russell, la paradoja de Cantor, etc.), hemos sentido la necesidad de justificar formalmente nuestro uso de todos los símbolos en los enunciados matemáticos, para darles significados bien definidos y formales, como si fueran elementos de programas informáticos.

Los números y los conjuntos suponen un reto único si intentamos hacerlo, porque son /integrales a los propios conceptos básicos de la prueba/.

La forma en que se resuelven estos retos es una teoría formal de conjuntos, en la que se obtienen enunciados como {}=0. Piensa que "0" se define como {} para nuestros propósitos - estamos empezando con un mundo en el que el símbolo '0' no tiene significado, y procediendo a hacer... todo el resto de las matemáticas, con nada un conjunto formal de reglas y algunos axiomas (enunciados que se asumen como 'verdaderos').

¡La construcción de los números naturales que das no es en absoluto la única posible! Así que la afirmación "0 = {}" no es algo universal, dado, derivable, etc. Es sólo una manera de reconciliar los conceptos de números y conjuntos con respecto a un sistema formal de lógica en el que podemos evitar algunos de los "enunciados sin sentido" que han causado dolor a los lógicos y matemáticos en el pasado. Hay otros. Estudiar hasta qué punto estos modelos son equivalentes / se aplican entre sí en presencia de varios conjuntos de axiomas es una disciplina de la lógica con una rica literatura.

En realidad, no hay que preocuparse por ello en un nivel "fundamental" o intuitivo, a menos que se esté interesado en ese tipo de lógica.

[edit - No tengo suficiente "reputación" para comentar el post de Frunobulax más abajo (las bombas no lo detendrán; ¡vamos a tener que usar la FUERZA NUCLEAR! :) ), pero brevemente, sí estoy mayormente de acuerdo con lo que dice - el desarrollo del formalismo no fue/es una actividad "tangencial" - ¡no hay ninguna buena razón para creer que la gente y las personas están hablando de la misma, consistente, matemática sin ella, en lugar de algún tipo de situación pre-Babel!

Sin embargo, los números reales son algo diferentes de los números naturales, ya que éstos no están tan íntimamente relacionados con las ideas de la prueba (es decir, la metalógica de todas las matemáticas, incluyendo el dominio de los reales, puede expresarse sin los reales para la mayoría de los modelos no exóticos/no concebidos, etc.) Esto toca la "no creencia" en los números reales... aunque no creo que nadie no crea en los conjuntos /contablemente infinitos/, ya que, de nuevo, hay ciertas pruebas que requieren sistemas de prueba bastante... complejos... sin ellos.

Sin embargo, hay que admitir que esto es una especie de puntilla].

Answer 5

De pequeño aprendiste que el 0 es cero. Pero eso es una tontería: ¡el 0 es un círculo dibujado en la pantalla del ordenador, no un número!

Lo que realmente has aprendido es que el 0 es una forma de representan el número cero en un medio visual.

Es útil tener formas de representar los números en un medio teórico de conjuntos. El esquema de notación que se suele utilizar es representar un número natural como el conjunto de todos los números menores; por ejemplo, representamos el cinco como $\{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ . El '3' aquí, por supuesto, significa nuestra representación de tres, que es $\{0,1,2\}$ . Los primeros números de esta representación, si es que hay que detallarlos completamente, son

• 0 = {}
• 1 = {{}}
• 2 = {{}, {{}}}
• 3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• 4 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}}