Definimos la norma del operador como $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ para $A L(H)$ . Se dice que $||A||$ mide la magnitud de la acción de $A$ .
¿Qué significa la acción de $A$ ¿y qué es sup en esta ecuación?
Además, ¿cómo podemos comprobar si $A$ ¿está acotado o no con esta afirmación?
El sup en la ecuación es un supremum sobre todos los estados del espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . En otras palabras, usted elige el estado $|\psi\rangle$ de $\mathcal{H}$ para el que el número $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$ se convierte en la mayor. Se puede demostrar que la norma del operador de $A$ corresponde al mayor valor propio de $\sqrt{A^{\dagger}A}$ . Como operador que actúa sobre $\mathcal{H}$ , $A$ mapea un estado fuera de él a otro, que puede no estar normalizado ya que no tiene garantía sobre $A$ siendo unitario. Así que se puede pensar en la acción de $A$ como medida de "cuánto" no normalizado $A|\psi\rangle$ es, dado que $|\psi\rangle$ es, es decir $\langle\psi | \psi \rangle=1$ .
Un operador es no acotado si su norma de supremacía es infinita. Esto se deduce trivialmente al negar la definición de un operador acotado en un espacio preBanach.
"Un operador lineal $A :D(A) \rightarrow X$ se llama acotada, si
$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$
El valor máximo de $k$ sobre el dominio de A se llama norma del sumo de A.
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