He oído a veces que las únicas dimensiones $k$ para el que existe un " bueno " producto suave $P:S^k\times S^k\to S^k$ son $k = 0,1,3,7$ (los productos anteriores correspondientes a $\mathbb Z_2, U(1)\subset\mathbb C$ el producto de cuaterniones unitarios y de números de Cayley unitarios).
Me gustaría pedir referencias sobre dicho resultado.
Más concretamente, me interesa saber cómo se puede definir " bueno " para que lo anterior sea cierto (con pruebas, preferiblemente).
$S^0$ , $S^1$ y $S^3$ tienen estructuras de grupo lisas bien conocidas. Se pueden obtener a partir de multiplicaciones bilineales bien conocidas en $\mathbb R$ , $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^4$ . $S^7$ no tiene una estructura de grupo lisa; este hecho puede obtenerse de la teoría de los grupos de Lie y sus álgebras de Lie. Afirmación más fuerte: $S^7$ no tiene una estructura de grupo continua; esto se puede deducir del hecho anterior utilizando la solución profunda de un problema de Hilbert. Pero $S^7$ tiene un $H$ -por lo que me refiero a una ley de multiplicación continua con una identidad de dos lados. Esto se puede obtener a partir de una multiplicación bilineal (no asociativa) en $\mathbb R^8$ por lo que incluso se puede elegir de forma que la multiplicación sea suave y la multiplicación por un elemento fijo a cada lado tenga una inversa suave.
Fuera de estas dimensiones, $S^{n-1}$ no tiene $H$ -estructura espacial. Para $n>1$ impar, esto es fácil usando productos de copa en $S^{n-1}\times S^{n-1}$ . Para $n$ no un poder de $2$ se puede hacer utilizando las operaciones de Steenrod en mod $2$ cohomología. El caso general utiliza $K$ -Teoría.
Un corolario es que las álgebras de división real (incluso en un sentido no asociativo) son imposibles en dimensiones distintas de $1$ , $2$ , $4$ y $8$ . Otro corolario es que ninguna otra esfera es paralelizable.
La cuestión de cuántos campos vectoriales tangentes linealmente independientes el $(n-1)$ -esfera admite también fue resuelto (por Adams) usando más sutil $K$ -argumentos teóricos.
Supongo que lo que quieres decir es que para $k=0, 1,3, 7$ la esfera $S^k$ es un Espacio H (como en el comentario).
Además, los grupos de Mentira son una palabra a tener en cuenta para tener ``buenos'' productos (mejor que lo anterior, esto funciona para $S^k$ con $k= 0,1,3$ no $7$ (véase el comentario más abajo).
Véase el teorema 2.16 de buen libro .
Una condición que podríamos desear para que un producto sobre una variedad sea agradable es que admita un elemento de identidad de dos caras. Otra condición que nos puede gustar es que la multiplicación por la izquierda sea no singular cerca de la identidad. En otras palabras, la multiplicación por la izquierda es infinitesimalmente inyectiva, es decir, el diferencial de la multiplicación por la izquierda lleva cualquier vector tangente no nulo en la identidad a un campo vectorial no evanescente. Esta condición es equivalente a que el colector sea paralelizable, y Kervaire, Bott y Milnor demostraron que las únicas esferas paralelizables tienen dimensión 0, 1, 3 y 7.
Se pueden encontrar pruebas en la mayoría de los libros de teoría K (topológica).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
