No logro entender el significado o quizás visualizar el uso de la inversa multiplicativa =
$1\over n$
¿Para qué sirve? ¿Y cómo puede ayudar en los problemas?
Actualización: Principalmente, mi pregunta era ¿por qué multiplicar por un inverso multiplicativo cuando se puede dividir por el coeficiente? La respuesta es que los babilonios no tenían un algoritmo de división larga.
Un inverso multiplicativo es un recíproco.
Un recíproco es uno de un par de números que al multiplicarse por otro número es igual al número $1$ . Por ejemplo, si tenemos el número $7$ la inversa multiplicativa, o recíproca, sería $\cfrac 17$ porque cuando se multiplica $7$ y $\cfrac 17$ juntos, se obtiene $1$ ¡!
Cuando se divide un número por otro, en realidad se multiplica por el inverso del divisor.
$\cfrac 75 = 7 × \cfrac 57$
El inverso multiplicativo es muy significativo en álgebra, donde sólo se puede dividir multiplicando el recíproco del divisor.
En el sentido muy abstracto es algo llamado grupo con respecto a la multiplicación tiene la siguiente propiedad:
1) Para todo elemento a en el grupo G existe un único elemento b en el grupo G tal que a.b=1 donde . es operación de multiplicación y 1 es identidad en ese grupo G.
Un ejemplo común es el grupo de racionales: Para cada número racional a existe otro racional único tal que a.b=1
Este no es el caso de los enteros ya que 2*1/2=1 pero 1/2 no es un entero por lo tanto el entero no es un grupo.
Lo mismo podemos hacer con las matrices cuyo determinante es distinto de cero. Sabemos que toda matriz con determinante distinto de cero tiene una única inversa, por lo que es una inversa multiplicativa en la que la identidad de este tipo de matrices es simplemente la matriz identidad.
La siguiente es una lista de propiedades de la inversa multiplicativa.
1) Todo número real o complejo distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo.
2) Si se multiplica un número por su inverso multiplicativo se obtiene el número $1$
3) El inverso multiplicativo de un número es el propio número.
4) La inversa multiplicativa de los números positivos es positiva y la inversa multiplicativa de los números negativos es negativa.
5) A medida que los números se hacen más pequeños, su inverso multiplicativo se hace más grande.
6) El cero no tiene un inverso multiplicativo.
7) Dividir dos números es lo mismo que multiplicar el primer número por el inverso multiplicativo del segundo.
8) Sólo hay dos números reales cuya inversa multiplicativa es igual a ellos mismos. Son $1$ y $-1$
9) Inverso multiplicativo de $10,100,1000,10000,....$ son $0.1, 0.01, 0.001,0.0001,.....$ y viceversa.
10) $1-1/2+1/3-1/4+.... = ln(2)$
11) $1-1/3+1/5 -1/7 +1/9.....= \frac {\pi }{4}$
12) $1+1/2+1/3+1/4+.... = \infty $
Y muchos más.
Invierte las operaciones de deshacer. Los inversores aditivos deshacen adiciones, por ejemplo, para deshacer $x + 7$ , se utiliza $-7$ , la inversa de 7 por lo tanto: $x - 7$ . Al resolver una ecuación, se puede llegar a un punto en el que se tiene algo como $5x + 7 = 52$ . El uso de la inversa aditiva te acerca un poco más a la respuesta: $5x = 45$ .
Igualmente con la inversa multiplicativa, deshace una multiplicación. El inverso multiplicativo de 5 es $\frac{1}{5}$ . Multiplicando ambos lados de la ecuación del ejemplo por $\frac{1}{5}$ nos da la respuesta: $x = 9$ .
Quizá no sea el mejor ejemplo. El inverso multiplicativo, o recíproco, se da por supuesto. Los recíprocos también son útiles en algunas divisiones cuando quieres o tienes que hacerlas en papel o en tu cabeza. Por ejemplo, ¿qué es un séptimo de tres cuartos? $$\frac{\frac{3}{4}}{7} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{3 \times 1}{4 \times 7} = \frac{3}{28}.$$
Un ejemplo un poco más interesante: ¿qué son dos séptimos de tres cuartos? $$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{7}} = \frac{3}{4} \times \frac{7}{2} = \frac{3 \times 7}{4 \times 2} = \frac{21}{8}.$$
El calificador multiplicativo se utiliza para evitar la confusión con el aditivo inversa (que da lo contrario en lugar de lo recíproco).
La inversa es de un número es tal que cuando multiplica ese número, el producto es el neutro multiplicativo.
$$n\times i=1.$$
Por ejemplo, en el módulo $5$ aritmética,
$$1\times1=1,\\2\times3=1,\\3\times2=1,\\4\times4=1.$$
$0$ no tiene inversa.
Puedes utilizarlo para resolver ecuaciones como $a\times x=b$ .
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