Demostrar que $R \geq \min(R_1, R_2)$

Question

Digamos que tenemos dos series, $\sum_{n=1} ^\infty a_n z^n$ y $\sum_{n=1} ^\infty b_n z^n$, cada una con radio de convergencia $R_1$ y $R_2$. Ahora, supongamos que $R$ es el radio de convergencia de $\sum_{n=1} ^\infty (a_n + b_n) z^n$. Deseo demostrar que $R \geq min(R_1, R_2)$ usando propiedades básicas de convergencia.

Sé que dos series convergentes pueden descomponerse así:

$$\sum_{n=1} ^\infty (a_n + b_n) = \sum_{n=1} ^\infty a_n + \sum_{n=1} ^\infty b_n$$

Sin embargo, sé por una pregunta anterior que hice (que se puede encontrar aquí: Radii of convergence for complex series), que el lado derecho no necesariamente es igual al lado izquierdo. Entonces, ¿cómo puedo usar propiedades básicas de convergencia para demostrar lo que necesito?

Answer 1

Supongamos, para la contradicción, que $R<\min\{R_1,R_2\}$. Entonces podemos encontrar un número real $R

Sin embargo, las series $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n||z_0|^n$ y $\sum_{n=0}^{\infty}|b_n||z_0|^n$ convergen porque $|z_0|=r<\min\{R_1,R_2\}$, por lo que se sigue que $\sum_{n=0}^{\infty}(|a_n|+|b_n|)|z_0|^n$ converge. Pero $|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|$, por lo que la serie $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n+b_n||z|^n$ converge por el criterio de comparación, lo cual es la contradicción deseada.