Dejemos que $M$ sea un módulo fiel no nulo generado finitamente sobre un anillo conmutativo con unidad $R$ . Si $m,n$ son enteros positivos tales que existe un homomorfismo de módulo inyectivo desde $M^m$ a $M^n$ entonces, ¿implica eso que $m \le n$ ?
Respuesta
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[El siguiente argumento está adaptado de este argumento de Georges Elencwajg para el caso $M=R$ .]
Reduzcamos primero al caso de que $R$ es noetheriano. Escogiendo un conjunto finito $G$ de generadores para $M$ podemos representar nuestro mapa $f:M^m\to M^n$ con una matriz de elementos de $R$ . Dejemos que $S\subseteq R$ sea el subarreglo generado por las entradas de esta matriz. Sea $N$ sea el $S$ -submódulo de $M$ generado por $G$ . Entonces $f$ restringe a un $S$ -homomorfismo de módulo $N^m\to N^n$ . Desde $M$ es distinto de cero, también lo es $N$ y como $f$ es inyectiva, también lo es $g$ . Dado que el anillo $S$ está generada finitamente, es noetheriana. Por lo tanto, podemos sustituir $R$ con $S$ , $M$ con $N$ y $f$ con $g$ y por lo tanto asumir $R$ es noetheriano.
Así que a partir de ahora asumimos $R$ es noetheriano. Ahora afirmo que si $P\subset R$ es cualquier ideal primo, entonces $M_P$ es distinto de cero. De hecho, esto se deduce del hecho de que $M$ es de generación finita y fiel. Dejando que $x_1,\dots,x_k$ generar $M$ tenemos $\operatorname{Ann}(x_1)\dots\operatorname{Ann}(x_n)\subseteq \operatorname{Ann}(M)=0\subseteq P$ y así $\operatorname{Ann}(x_i)\subseteq P$ para algunos $i$ desde $P$ es primo. Esto significa que la imagen de $x_i$ en $M_P$ es distinto de cero, por lo que $M_P$ es distinto de cero.
En particular, dejemos ahora que $P$ sea un primo mínimo de $R$ (ya que $M$ es distinto de cero y por tanto $R$ es distinto de cero, sabemos que $R$ tiene un ideal primo mínimo). Tenemos entonces un homomorfismo inyectivo $M_P^m\to M_P^n$ de $R_P$ -módulos. Pero el anillo $R_P$ es un anillo noetheriano de dimensión cero y, por tanto, es artiniano, por lo que $M_P$ tiene una longitud finita sobre $R_P$ . Si $M_P$ tiene una longitud $\ell$ entonces $M_P^m$ tiene una longitud $m\ell$ y $M_P^n$ tiene una longitud $n\ell$ y por tanto nuestro homomorfismo inyectivo implica $m\ell\leq n\ell$ . Desde $M_P$ es distinto de cero, $\ell>0$ por lo que concluimos que $m\leq n$ .
Como observación final, la suposición de que $M$ es fiel es innecesario, ya que siempre podemos sustituir $R$ con el cociente $R/\mathrm{Ann}(M)$ sobre el cual $M$ es fiel.
