cuando la curvatura escalar constante implica a Einstein?

Question

Supongamos que $(M^n,g)$ es un $n$ dimensional ( $n \geq 3$ ), una variedad riemanniana cerrada con curvatura escalar constante y $Ric_g$ no negativo. Entonces es $g$ ¿Einstein?

Answer 1

No hay ninguna razón para esto, y la respuesta es en efecto no .

El ejemplo más sencillo que se me ocurre es el producto de dos $\mathbb{S}^2$ , cada uno dotado de una métrica redonda de diferentes radios (añadido en la edición). Esta variedad es homogénea y por tanto tiene curvatura escalar constante, su curvatura seccional es no negativa por lo que su tensor de Ricci también lo es (y de hecho es incluso positivo), pero la curvatura de Ricci en una dirección $u$ no es constante (las direcciones tangentes a la esfera de mayor radio tienen la menor curvatura de Ricci).

Answer 2

Como ejemplo de que esto se cumple, para $\omega$ una métrica de Kähler de curvatura escalar constante con $\pi c_1(M) = \lambda [\omega]$ entonces $\omega$ es Kähler-Einstein. Esta es la Proposición 2.12 en el libro de Tian "Canonical metrics in Kähler Geometry".