¿La imagen del conjunto abierto simplemente conectado es simplemente conectada?

Question

Creo que la siguiente afirmación no es válida, pero hasta ahora no he encontrado un contraejemplo.

Supongamos que $f:X\to Y$ es continua. Además, supongamos que $X$ está simplemente conectado. Así que $f_\star:\pi(X,x_0)\to\pi(Y,f(x_0))$ . La cuestión es si $\exists U\ni f(x_0)$ que está simplemente conectado donde $U$ es algún conjunto (espero).

No veo ninguna razón para esperar $\pi(Y,f(x_0))=1$ aquí. Además $f(X)\to Y$ es un mapa continuo de la topología del subespacio. Así que realmente quiero $f:X\to f(X)$ induciendo $f_\star:\pi(X,x_0)\to\pi(f(X),f(x_0))$ . No hay esperanza para el homeomorfismo. Así que todavía no puedo concluir la trivialidad de $\pi(f(X),f(x_0))$ .

P1: ¿Se corrige mi expectativa?

P2: ¿Cuál es el contraejemplo o cuáles son los ingredientes esenciales para construir dicho contraejemplo? Parece que tengo que asegurarme de alguna manera $Z\to \pi(f(X),f(x_0))$ inyección mínima.

Answer 1

Toma $X=\mathbb R$ , $Y=S^1$ y $f(x)=e^{ix}$ . Entonces $X$ está simplemente conectado, pero $f(X)(=S^1)$ no lo es.

Answer 2

Para un contraejemplo inyectivo: Sea $X=\{0\}$ y $f:X \to S^1$ sea el mapa de inclusión.

Para un contraejemplo surjetivo: Sea $X=[0,1]$ y considerar el mapa cociente que identifica los puntos finales de $X$ para que obtengamos un mapa $f:X \to S^1$ que es continua, pero $\pi_1(S^1)$ no es trivial.

Para un contraejemplo biyectivo: Consideremos el mapa $[0,1) \to S^1$ que lo enrolla alrededor del círculo. Es continua y biyectiva, pero no tiene inversa continua.