Se toma una r.s. de tamaño n de una r.v. normal X~N(μ, 1,5). Para tener un 95% de confianza en que el error entre X̄ y μ es como máximo de 0,85, ¿qué tamaño debe tener n?

Question

Supongamos una muestra aleatoria de tamaño n se toma de una variable aleatoria normal X~N(, 1,5) . Para tener un 95% de confianza en que el error entre X y la media poblacional desconocida es como máximo de 0,85, ¿qué tamaño de muestra hay que tomar?

¿Significa esto que el itnerval de confianza es de tamaño .85*2?

Sé cuáles son las fórmulas para un intervalo de confianza para la media, pero no sé por dónde empezar con ésta.

Answer 1

$\bar{X}$ se distribuye como un $N(\mu, 1.5 / n)$ (la forma de pensar claramente en esto es recordar que la adición de normales independientes añade sus medias y varianzas y escalando una variable aleatoria por $\lambda$ multiplica su varianza por $\lambda^2$ ).

Puede traducir todo por $-\mu$ .

Por lo tanto, usted quiere elegir $n$ para que el $P( A_n \in [ - .85, .85]) \geq .95$ , donde $A_n \sim N(0, 1.5/n)$ . ( $A_n$ es la distribución de $\bar{X}$ al tomar $n$ muestras).

Desde el $68-95-99.7$ regla, básicamente quieres $.85$ para ser 2 desviaciones estándar - ahora, la desviación estándar de $A_N$ es $\sqrt{1.5/n}$ ...

(También se puede calcular con más exactitud).

¿Ayuda eso?

Answer 2

Simplemente, el margen de error deseado, $$0.85 = \text{ME} = z_{\alpha/2}^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},$$ o de forma equivalente, $$n = \left(\frac{z_{\alpha/2}^* \sigma}{\text{ME}}\right)^{\!2},$$ donde $z_{\alpha/2}^*$ es la parte superior $\alpha/2$ cuantil de la distribución normal estándar, que para un $95\%$ el intervalo de confianza corresponde a $\alpha = 0.05$ y $z_{.025}^* \approx 1.96$ ; $\sigma = 1.5$ es la desviación estándar de la población, y $n$ es el tamaño de la muestra. El resto es simplemente una sustitución y un cálculo. Tenga en cuenta que si el resultado no es un número entero, hay que redondear arriba al número entero más cercano.