Si y = 3x - 6 ¿cuál es el producto mínimo de x*y?

Question

Vale, no soy matemático y me he tropezado con esta pregunta (que creo que no está correctamente formulada)

Al principio pensé "pfff eso es fácil es sólo una línea aslante así que voy a ir a menos infinito en ambos lados y que sería mi producto mínimo"

pero si recuerdo correctamente de la escuela -infinito * -infinito = +infinito

¡¡¡y como puede ser que el producto mínimo de una ecuación como esa sea infinito ya que solo haciendo algún cálculo por encima de mi cabeza pude encontrar bastantes pares x,y de y = 3x - 6 de los cuales el producto es menor que el infinito!!!

entonces pensé en multiplicar todo con x y obtener xy = 3x^2 -6x y sólo encontrar el mínimo de 3x^2 -6 que es 1,-3 ....

pero no puedo hacer ninguna inferencia al respecto ya que este puede ser el punto más bajo de esa ecuación cuadrática pero estas coordenadas no aparecen en la recta 3x - 6...

Estoy muy confundido.... ¿la pregunta no es correcta de alguna manera? ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Dado $x$ El producto es $$ x(3x-6)=3(x^2-2x)=3(x^2-2x+1-1)=3((x-1)^2-1) $$ Desde $(x-1)^2\ge0$ debe quedar claro que el mínimo posible es $-3$ , para $x=1$ y $y=-3$ .

El truco es "completar el cuadrado", es decir, pasar de $x^2-2x$ a $x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1$ .

Answer 2

Su respuesta y razonamiento son en gran medida correctos. No hay ninguna razón para que ese punto esté en la línea. La respuesta es $-3$ , este es el mínimo del producto. (Se alcanza cuando $x= 1$ pero eso no es estrictamente necesario para responder a la pregunta).

Si quieres darle un sentido geométrico a todo esto, podrías considerar el producto como el área del rectángulo formado por un punto de esa recta y el origen. Pero tendrías que tener en cuenta el signo de una manera no intuitiva. Creo que esto no es realmente útil en este caso.

Answer 3

Esta es una aplicación bastante sencilla de la búsqueda de mínimos/máximos utilizando derivadas. Multiplicando x por y se encuentra que la función se puede expresar como $ f(x) = 3x^2-6x $ . Encontrar la primera derivada es bastante sencillo, ya que es sólo la regla de la potencia. $f'(x) = 6x-6$ . Configuración $f'(x) = 0$ que encuentres $6x-6=0$ Por lo tanto $6x=6$ que es $x=1$ . Esto significa que el máximo de la función va a estar en x = 1 (es un máximo como la parábola orientada hacia abajo). Entonces, sólo tienes que introducir 1 en lugar de x en tu función original y hallar $f(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 $ . Por lo tanto, -3 es el valor máximo alcanzado por esta función.