Dejemos que $f$ ser un $C^2$ función de $(t_1,t_2)$ a $R^n$ tal que $\Vert f(t)\Vert\leq A$ y $\Vert f''(t)\Vert \leq B$ para todos $t\in (t_1,t_2)$ , donde $A$ y $B$ son reales no negativos.
Dejemos que $t_0\in (t_1,t_2)$ y $\alpha>0$ sea tal que $(t_0-\alpha,t_0+\alpha)\subset (t_1,t_2)$ .
Me gustaría demostrar que $\Vert f'(t_0)\Vert\leq 2A/\alpha + B\alpha/2$ .
He pensado en utilizar una expansión de Taylor de $f$ pero no puede conseguir la desigualdad.
En primer lugar, basta con considerar el caso $n=1$ : Diga $v\in\Bbb R^n$ con $||v||=1$ y que $g(t)=f(t)\cdot v$ . Entonces $|g'|\le A$ y $|g''(t)|\le B$ Si demostramos que $|g'(t)|\le C$ entonces $|f'(t)\cdot v|\le C$ para todos $v$ con $||v||=1$ Por lo tanto $|f'(t)|\le C$ .
El Teorema de Taylor muestra que para $t\in (t_0-\alpha,t_0+\alpha)$ tenemos $$f(t)=P(t)+R(t)$$ donde $$P(t)=f(t_0)+(t-t_0)f'(t_0)$$ y $$|R(t)|\le\frac12 B(t-t_0)^2<\frac12 B\alpha^2.$$
Así que $$2A\ge|f(t)-f(t_0)|=|(t-t_0)f'(t_0)+R(t)| \ge|t-t_0||f'(t_0)|-\frac12 B\alpha^2$$ Elegir $t$ cerca de $t_0\pm\alpha$ ahora da $$2A\ge\alpha|f'(t_0)|-\frac12B\alpha^2,$$ o $$|f'(t_0)|\le2A/\alpha+\frac12 B\alpha.$$
No estoy seguro de entender cómo se restringe a $n=1$ ya que la hipótesis está en $f$ y no en $g$ .
Sí, pero entonces ¿cómo volver a la desigualdad en $f$ ? Estoy de acuerdo en que es sencillo para el $L^1$ norma, pero ¿qué pasa con la $L^2$ ¿Norma?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
¿Está seguro de la desigualdad? Puedo obtener que el lado izquierdo es menor que $2A/\alpha+B\alpha/2.$
0 votos
En mi desigualdad hay un factor $2$ que multiplica el término $A/\alpha$