Diferencia entre retracción y deformación retracción

Question

Tengo un problema para distinguir la retracción y la retracción por deformación intuitivamente .

Es decir, la retracción por deformación es informalmente una operación en un espacio que se deforma continuamente (por ejemplo, la expansión de un agujero en una bola o la compresión hacia $A$ para que $A$ es fijo) un espacio mientras que un subespacio $A$ no se ve afectado por esta acción.

Esto ayuda mucho a visualizar las retracciones de las deformaciones.

Sin embargo, creo que este tipo de visualización no distingue entre repliegue y retracción. La retracción es una función continua $f:X\rightarrow A$ que fija $A$ . También se puede pensar en una acción que deforma continuamente $X$ a $A$ .

¿Cómo puedo distinguir estas dos cosas? ¿Qué tan fuerte es la retracción por deformación que la simple retracción?

Answer 1

Un toroide $S^1 \times S^1$ se repliega sobre cualquiera de esos círculos componentes $S^1 \times \{pt\}$ o $\{pt\} \times S^1$ . No se retrae por deformación en ninguno de ellos. Aún más extremo es que todo espacio se retrae sobre cualquier punto contenido en él, pero no se retrae por deformación sobre él - la mayoría de los espacios no son contraíbles.

Estos son ejemplos típicos: todo lo que tienes es un mapa sobre un subespacio, no un mapa y una deformación de la identidad a su mapa.

Quizás el punto más importante aquí es: una deformación retraída es automáticamente una equivalencia de homotopía. Como en el ejemplo anterior, ¡una retracción rara vez lo es!