Cómo probar $\Sigma X \cong S^{1}\wedge X$

Question

$\Sigma X$ es la suspensión reducida de X, donde X es un espacio basado. si alguien tiene una pista o sugerencia de cómo puedo mostrar este resultado, se lo agradecería mucho

Answer 1

Sugerencia: considere el mapa $f:S^1 \times X \to \Sigma X$ dado por $f([t],x) = [(t,x)]$ , donde $S^1 = I / \partial I$ , $\Sigma X = (I \times X)/((\partial I \times X) \cup (I \times \{x_0\}))$ y $[\cdot]$ denota las clases de equivalencia. Esto induce un mapa $S^1 \wedge X \to \Sigma X$ y este mapa tiene una inversa inducida por $g:I \times X \to S^1 \wedge X$ , $g(t,x) = [([t],x)]$ . Te dejo que compruebes que a) $f$ está bien definida y b) $f,g$ descienden a sus respectivos cocientes.