Relación de recurrencia de una matriz

Question

Pregunta: Si $A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ entonces demuestre que $A^n=A^{n-2}+A^2-I$ , $n\geq3$ . Por lo tanto, encontrar $A^{50}$ .

¿Por dónde empiezo? He resuelto hasta $A^8=4A^2-I$ y $A^9=4A^2+A-I$ con un patrón similar emergente, pero estoy atascado donde ir desde aquí. Y como estoy partiendo de la ecuación a la que debía llegar, no creo que esta sea la solución. Pero no veo nada que pueda hacer con $A$ para probar esa ecuación, excepto tal vez calcular $A^2$ ...

Answer 1

$1.~$ espectáculo para $n=3$ que :

$$A^3 =A^1+A^2-I \Rightarrow A(A^2-I)=A^2-I$$

$2.~$ supongamos que :

$$A^n=A^{n-2}+A^2-I$$

EDITAR :

Como Brian observó correctamente el paso $3$ debe ser :

$3.~$

$$\begin{align*} &A^{n+1}=A(A^{n-2}+A^2-I)=A^{n-1}+A(A^2-I)=A^{n-1}+A^2-I \end{align*}$$

que es verdadera según el primer paso de inducción , por lo que :

$$A^n=A^{n-2}+A^2-I\text{ for all }n \geq 3$$

Por eso:

$$\begin{align*} A^4&=2A^2-I\\ A^6&=3A^2-2I\\ A^8&=4A^2-3I\\ &\;\vdots\\ A^{50}&=25A^2-24I \end{align*}$$