Demostrar que $\mathbb{Z}_2$ no es un libre $\mathbb{Z}_6$ -Módulo

Question

Dejemos que $ \Lambda = \mathbb{Z}_6 $ ，el anillo de los enteros módulo $ 6 $ .desde $ \mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3 $ como $\mathbb{Z}_6 $ -módulo, entonces $\mathbb{Z}_2$ así como $\mathbb{Z}_3$ son proyectivas $\mathbb{Z}_6$ -Cómo, claramente no son libres. $\mathbb{Z}_6$ -módulos.

Sé que si cada $P_{i}$ es proyectiva entonces ${ \bigoplus }_{ i\in I }{ P }_{ i }$ es proyectiva y la inversa es cierta, así que lo que no puedo saber es por qué no son libres $\mathbb{Z}_6$ -módulos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Un libre finito $\mathbb{Z}_6$ -el módulo tiene un orden múltiplo de $6$ .