Duda con $\sqrt[3]{x} \ne x^{\frac{1}{3}}$

Question

En una prueba, había la siguiente pregunta: ¿Cuál es el valor de $(-0.125)^{\frac{1}{3}}$ ?

Una de las posibles respuestas era " $-0.5$ " y otra respuesta fue "Ninguna de las anteriores".

Es importante señalar que sólo trabajamos con números reales

La mayoría de los estudiantes marcaron la primera como la respuesta correcta, pero estoy bastante seguro de que $\sqrt[3]{x} \ne x^{\frac{1}{3}}$ porque no está bien definido. Por ejemplo:

$(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$

o

$(-8)^{\frac{2}{6}}=(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-8)}=-2$

Además, si grafico $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ trama eso, aparentemente, $(-0.125)^{\frac{1}{3}}=-0.5$ . Wolfram Alpha pone $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ para cualquier número que probé, pero otra calculadora, Photomath, muestra el problema con el nombre de "Indeterminado"

¿Es correcto mi planteamiento?

¿Por qué diferentes calculadoras o motores matemáticos dan respuestas diferentes para este problema?

Answer 1

Si $n$ es impar, $x^n$ es una función invertible de $\Bbb R$ a sí mismo; denotamos la inversa bien $\sqrt[n]{x}$ o $x^{1/n}$ . Esto es coherente con $\left(x^a\right)^b=x^{ab}$ . Ahora podemos definir de forma única $x^{p/q}\in\Bbb R$ para cualquier $x\in\Bbb R$ con $x\ne0$ (una restricción que podemos dejar de lado si $p/q\gt0$ ), y cualquier número entero $p,\,q$ con impar $q>0$ . No funcionará para $p$ impar y $q$ aunque $x<0$ pero en otros casos podemos anular $p/q$ en el impar- $q>0$ forma. Así que, en general, definimos $x^{p/q}$ cancelando primero el exponente en sus términos más bajos.

Answer 2

Creo que es $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \ne x^{\frac{2}{6}}$

Considere este ejemplo $-1=(-1)^3=(-1)^{2.\frac{3}{2}} \ne ((-1)^2)^{\frac{3}{2}}=1$

La idea es que debemos escribir los números que utilizamos en sus formas irreducibles para eliminar cualquier tipo de ambigüedad.

Answer 3

De hecho, no deja de ser problemático trabajar con una expresión $a^x$ para $x \notin \mathbb Z$ y $a <0$ . Véase mi respuesta a Por qué $(-2)^{2.5}$ no es igual a $((-2)^{25})^{1/10}$ ?

La "definición universal" sería $a^x = e^{x\ln a}$ pero sólo es válido para $a > 0$ . Si ampliamos esto a $a < 0$ es posible, pero implica el logaritmo complejo y al hacerlo el problema es que tiene infinitas ramas. Tenga en cuenta que $w = \ln z$ debe satisfacer $e^w = z$ pero esta ecuación tiene infinitas soluciones en $\mathbb C$ . Si eliges cualquier solución $w_0$ entonces el conjunto completo de soluciones viene dado por el $w_k = w_0 + 2\pi i k$ , $k \in \mathbb Z$ .

Normalmente se toma el rama principal en $\ln z$ que se caracteriza por la condición de que $0 \le \arg(\ln z) < 2 \pi$ . Esto tiene la ventaja de que $\ln z$ es el logaritmo real estándar si $z$ es un número real positivo. Con este enfoque obtenemos $\ln (-1) = \pi i$ (porque $e^{\pi i} = -1$ ) y $(-1)^{1/3} = e^{\pi i/3} = 1/2 + i \sqrt{3}/2$ . Esto difiere de $\sqrt[3]{-1} = -1$ . Pero tenga en cuenta que $1/2 + i \sqrt{3}/2$ es una de las tres raíces cúbicas complejas de $-1$ .

Si $x = p/q$ con $p \in \mathbb Z$ y $q \in \mathbb N$ Entonces, sin embargo, creo que es aceptable definir para $a < 0$ $$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$$ proporcionó $q$ es impar. Ver de nuevo Por qué $(-2)^{2.5}$ no es igual a $((-2)^{25})^{1/10}$ ? Esto puede ser visto como hacer una elección especial para $\ln a$ en función de $x$ . De hecho, podemos tomar $\ln a$ tal que $\arg(\ln a) = q\pi$ .