¿Qué es un espacio proyectivo?

Question

1. ¿Existe un "principio de reconocimiento" para los espacios proyectivos?
2. ¿Qué categorías hay con espacios proyectivos para los objetos?

Antecedentes: Aunque el título es un guiño a ¿Qué es un espacio métrico? En realidad, esta pregunta se basa en mis preguntas sobre los espacios de Hilbert ( ¿Qué es una visión intuitiva de los colindantes? (versión 2: análisis funcional) , ¿Se puede prescindir de la representación de Riesz? , Linealidad del producto interior mediante la ley del paralelogramo ). Las respuestas a estas preguntas me han hecho reflexionar sobre los espacios de Hilbert. En resumen, me pregunto si es posible cambiar el lema de los espacios de Hilbert de "los espacios de Hilbert son geniales porque son autoduales" a "los espacios de Hilbert son geniales porque no hay que mencionar el dual". Así que estoy buscando formas de eliminar cualquier mención explícita del dual en las construcciones básicas de la teoría de los espacios de Hilbert. Mi sustitución preferida actualmente es con declaraciones sobre subespacios complementarios.

Esto nos lleva a los espacios proyectivos ya que son la primera familia no trivial de subespacios de algún espacio de Hilbert. El análogo del subespacio de la representación de Riesz dice que existe un isomorfismo entre $\mathbb{P}H$ y $\operatorname{Gr}_{\infty -1}(H)$ (el espacio de subespacios de codimensión uno). Quiero poder tratar este último espacio como si fuera un espacio proyectivo por derecho propio y decir que se trata de un "isomorfismo de espacios proyectivos". Sin embargo, no quiero construir explícitamente un espacio vectorial del que $\operatorname{Gr}_{\infty - 1}(H)$ es el espacio proyectivo ya que ese espacio vectorial sería $H^*$ . Así que quiero un principio de reconocimiento para los espacios proyectivos y una noción adecuada de "isomorfismo".

Un ejemplo de lo que podría ser el principio de reconocimiento sería una expresión de la estructura de un espacio proyectivo como un teoría algebraica , tal vez uno de los más variados. Eso también haría obvio cuáles eran los morfismos.

Obviamente hay muchas versiones de lo que podrían ser los morfismos. Lo que me gustaría es que el functor obvio de los espacios de Hilbert a los espacios proyectivos fuera plena y fielmente pero no por la construcción . Es decir, no quiero simplemente tomar la categoría de espacios de Hilbert y reemplazar cada espacio de Hilbert por su espacio proyectivo, porque entonces para elaborar los morfismos entre dos espacios proyectivos necesito primero elegir espacios de Hilbert representativos y no quiero hacer eso.

Para dar a esto una conexión con algo un poco más profundo que sólo una forma diferente de trabajar con los espacios de Hilbert, recordemos que en la teoría K retorcida el lugar de partida es un haz de espacios proyectivos que no puede se eleva globalmente a un haz de espacios de Hilbert. No obstante, algunas construcciones relacionadas con un espacio de Hilbert siguen funcionando en dicho haz porque no dependen de la elección real del espacio de Hilbert, de modo que se puede hacer una elección local y luego demostrarlo independientemente de esa elección (por ejemplo, el espacio de operadores de Fredholm). ¿Hay alguna manera de ir directamente a esa construcción sin hacer elecciones locales?

Answer 1

Nunca he visto espacios proyectivos de dimensión finita definidos por axiomas, sólo por construcciones de algún tipo a partir de algo más relacionado con los axiomas. Por ejemplo, en la geometría algebraica, se puede definir un espacio proyectivo variedad como el Proj de un álgebra graduada, que podría ser adecuadamente axiomática. Sin embargo, el espacio proyectivo en ese entorno proviene del "axioma" relativamente insatisfactorio de que el álgebra se genera libremente a partir del grado 1.

Estaba a punto de decir que sería muy difícil hacer axiomas para un espacio proyectivo de Hilbert que sean muy diferentes de los axiomas para un espacio de Hilbert. Pero entonces se me ocurrió una forma de hacerlo. Un álgebra de von Neumann es una *álgebra de Banach sobre $\mathbb{C}$ que satisface el $C^*$ axioma y también tiene un predual como un espacio de Banach. Si $\mathcal{M}$ es un álgebra de von Neumann, tiene un espacio $\mathcal{M}^\diamondsuit$ de estados normales puros, por definición los vectores duales extremos normales, normalizados y positivos. Se trata de un espacio proyectivo generalizado. En particular, si $\mathcal{M}$ es un factor de tipo I -cuyas condiciones no necesitan mencionar directamente los espacios de Hilbert-, entonces el teorema de von Neumann identifica $\mathcal{M}^\diamondsuit$ con el espacio de líneas en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . (Y por supuesto $\mathcal{M}$ con $B(\mathcal{H})$ .) En la definición no se eligen nunca fases globales.

¿Cumple con sus requisitos? Mi motivación es el hecho de que la probabilidad cuántica es la teoría de la probabilidad correcta para la mecánica cuántica, y que en la mecánica cuántica las fases globales son siempre irrelevantes. Reflejando eso, la fase global no existe en la definición de von Neumann de un estado.

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En los comentarios, Qiaochu señala que existe otro conjunto de axiomas muy importante para un espacio proyectivo, a saber, los axiomas de incidencia clásicos para una geometría proyectiva. Mi versión favorita es que una geometría proyectiva es de tipo esférico $A_n$ edificio. Estos axiomas se diferencian en que ni siquiera eligen un campo de antemano. De hecho, hay planos proyectivos que no son el plano proyectivo estándar sobre un campo.

Sería interesante hacer axiomas para un tipo topológico $A_\infty$ edificio correspondiente al espacio proyectivo de un espacio de Hilbert. Parece plausible, y podría ser un modelo muy diferente del modelo del álgebra de von Neumann. Pero tal vez von Neumann, la persona, siga ahí en esta idea, porque la geometría de incidencia de un espacio de Hilbert también se conoce como lógica cuántica .

Answer 2

El libro "Modern Projective Geometry" tiene un sistema de axiomas para espacios proyectivos en un conjunto $X$ utilizando una función $f\colon X\times X\to P(X)$ (ver página 30). También hay mucha geometría proyectiva que se puede hacer en el contexto de los entramados. Creo que esto está relacionado con la respuesta de Greg a través de Von Neumann " Geometría continua ". (ver aquí ). Otro libro a consultar podría ser el clásico de Baer " Álgebra lineal y geometría proyectiva ".

Sobre el comentario de Greg al de Qiaochu: no olvidemos que para todo espacio proyectivo $X$ siempre podemos encontrar un anillo de división $D$ de manera que cada $X=P^n(X)$ para algún n (en el caso del plano se necesita que $X$ ser un plano de Desargue).Ver este . (Pero, por lo que sé, todos estos son resultados de dimensión finita, así que puede que no sean tan interesantes para Andrew...)