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Conversión entre la expectativa condicional condicionada a σ -y en r.v

Dejemos que (Ω,F,P) sea un espacio de probabilidad, y sea GF sea un sub- σ -de la álgebra de F y X:ΩR una variable aleatoria. Entonces la expectativa condicional de X condicionado a G se define como la variable aleatoria única a.e. Y tal que

(i) Y es G -medible, y

(ii) para cada AG tenemos E[X1A]=E[Y1A]. Y se denota como Y:=E[X|G] . Para una variable aleatoria Z la expectativa condicionada a Z se define como E[X|Z]:=E[X|σ(Z)] .

Estas dos nociones son equivalentes, así que ahora mi pregunta. Dada una expectativa condicional E[X|G] con respecto a algunos sub- σ -Álgebra G Cómo encontrar una variable aleatoria Z tal que E[X|Z]=E[X|G]a.e.?

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Si quieres un de valor real variables aleatorias Z entonces G debe ser generada contablemente. (Al menos hasta los conjuntos nulos).

Supongamos que G está generada contablemente. Queremos encontrar una variable aleatoria Z:ΩR tal que σ(Z)=G . Diga G es generado por A1,A2, . ¿Qué tal si Z=k=13k1Ak (aquí 1A es la función indicadora de A ).

Por otro lado, si G=σ(Z) entonces G está generada por la familia contable Er={Z>r} , donde r se extiende sobre los racionales.

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