Dejemos que (Ω,F,P) sea un espacio de probabilidad, y sea G⊆F sea un sub- σ -de la álgebra de F y X:Ω→R una variable aleatoria. Entonces la expectativa condicional de X condicionado a G se define como la variable aleatoria única a.e. Y tal que
(i) Y es G -medible, y
(ii) para cada A∈G tenemos E[X⋅1A]=E[Y⋅1A]. Y se denota como Y:=E[X|G] . Para una variable aleatoria Z la expectativa condicionada a Z se define como E[X|Z]:=E[X|σ(Z)] .
Estas dos nociones son equivalentes, así que ahora mi pregunta. Dada una expectativa condicional E[X|G] con respecto a algunos sub- σ -Álgebra G Cómo encontrar una variable aleatoria Z tal que E[X|Z]=E[X|G]a.e.?