Conversión entre la expectativa condicional condicionada a $\sigma$ -y en r.v

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal F, P)$ sea un espacio de probabilidad, y sea $\mathcal G \subseteq \mathcal F$ sea un sub- $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal F$ y $X : \Omega \to \mathbb R$ una variable aleatoria. Entonces la expectativa condicional de $X$ condicionado a $\mathcal G$ se define como la variable aleatoria única a.e. $Y$ tal que

(i) $Y$ es $\mathcal G$ -medible, y

(ii) para cada $A \in \mathcal G$ tenemos $$ E[X\cdot 1_A] = E[Y\cdot 1_A]. $$ Y se denota como $Y := E[X | \mathcal G]$ . Para una variable aleatoria $Z$ la expectativa condicionada a $Z$ se define como $E[X | Z] := E[X | \sigma(Z)]$ .

Estas dos nociones son equivalentes, así que ahora mi pregunta. Dada una expectativa condicional $E[X | \mathcal G]$ con respecto a algunos sub- $\sigma$ -Álgebra $\mathcal G$ Cómo encontrar una variable aleatoria $Z$ tal que $$ E[X | Z] = E[X | \mathcal G] \quad \mbox{a.e.}? $$

Answer 1

Si quieres un de valor real variables aleatorias $Z$ entonces $\mathcal G$ debe ser generada contablemente. (Al menos hasta los conjuntos nulos).

Supongamos que $\mathcal G$ está generada contablemente. Queremos encontrar una variable aleatoria $Z \colon \Omega \to \mathbb R$ tal que $\sigma(Z) = \mathcal G$ . Diga $\mathcal G$ es generado por $A_1, A_2, \dots$ . ¿Qué tal si $$ Z = \sum_{k=1}^\infty 3^{-k} \mathbb 1_{A_k} $$ (aquí $\mathbb 1_A$ es la función indicadora de $A$ ).

Por otro lado, si $\mathcal G = \sigma(Z)$ entonces $\mathcal G$ está generada por la familia contable $E_r = \{Z>r\}$ , donde $r$ se extiende sobre los racionales.