Dejemos que $I\subset\mathbb{R}$ sea un intervalo de longitud finita y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ una función que es diferenciable en una vecindad de $I$ . Traté de probar: $$ \inf_{a\in\mathbb{C}}\|f-a\|_{L^{\infty}(I)}\le|I|\|f'\|_{L^{\infty}(I)} $$ Si el rango de $f$ y $a$ son ambos en $\mathbb{R}$ , entonces puedo demostrar esta desigualdad. La observación clave es que, como mínimo, $f-a$ debe ser igual a 0 en algún punto de $I$ y así puedo escribir esta función como una integral sobre un subconjunto de $I$ por teorema fundamental del cálculo . Pero cuando se trata de $\mathbb{C}$ No tengo una imagen geométrica muy clara como en el $\mathbb{R}$ caso. Intenté Trabajar en partes reales y complejas de $f$ por separado, pero no puedo volver $|f'|$
Respuesta
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Porque $f$ es diferenciable en una vecindad de $I$ podemos suponer que $I = [c,d] $ con $c < d$ . Configuración $b = f(c)$ obtenemos por cada $x \in I$ \begin{align*} |f(x) - b| &= \left| \int_{c}^x f'(t) \,\text{d}t \right| \leq \int_{c}^x |f'(t)| \,\text{d}t \leq \int_{c}^x \|f'\|_{L^\infty(I)} \,\text{d}t \\ &= \|f'\|_{L^\infty(I)} (x-c) \leq |I| \|f'\|_{L^\infty(I)}. \end{align*} (Aquí estimamos la distancia de $f(c)=b$ y $f(x)$ por la longitud de la curva descrita por $f$ ). Por lo tanto, $$ \|f-b\|_{L^\infty(I)} = \sup_{x \in I} |f(x)-b| \leq |I| \|f'\|_{L^\infty(I)} $$ y por lo tanto $$ \inf_{a \in \mathbb{C}} \|f-a\|_{L^\infty(I)} \leq \|f-b\|_{L^\infty(I)} \leq |I| \|f'\|_{L^\infty(I)}. $$
