Encontrar todos los pares de soluciones enteras de ${x^y = (x+y)^2}$

Question

¿Cómo puedo encontrar todas las soluciones para ${x^y = (x+y)^2}$ , donde $x$ y $y$ son enteros positivos y al menos uno de ellos es primo.

Por ejemplo, ${64 = 2^6 = (2+6)^2}$

Un amigo mío señaló que $x|y^2$ entonces $x^2|y^2$ Así, cuando $x$ es primo y $y$ no es primo, podemos escribir $y=xk$ . Así, $x^{xk} = x^2 (1+k^2)$ y $x^{xk-2} = (1+k^2)$ .

Answer 1

Ignoraré el requisito de la "prima". Sólo estropea la diversión. Y asumo enteros positivos y negativos.

x=0 no es posible. $0^y$ sólo se define si $y>0$ pero luego $(0 + y)^2 > 0 = 0^y$ .

Si y < 0 entonces $x^y$ no es un número entero a menos que $x = ±1$ y $x^y = ±1$ . Desde $x^y = (x+y)^2 0$ debemos tener $x^y = +1$ y $x+y = ± 1$ . $x = -1$ no es posible porque hace $x + y -2$ y $(x+y)^2 4$ . $x=1$ implica $x+y = ±1$ Por lo tanto $y=0$ o $y=-2$ Así que $1^{-2} = (1-2)^2 = 1$ es la única solución con $y<0$ .

Si $y=0$ entonces $x^y = 1$ Así que $(x+0)^2 = 1$ así que $x = ±1$ . ${±1}^0 = (±1 + 0)^2 = 1$ .

Si $y=1$ entonces $x^y = x = (x+1)^2$ . Debemos tener $x>0$ y cualquier $x > 0$ es menor que $(x+1)^2$ , por lo que no hay solución.

Si $y=2$ entonces $x^y = x^2 = (x+2)^2$ Así que $x + 2 = ±x$ . Este es el caso sólo para x = -1, y = 2: ${-1}^2 = (-1 + 2)^2 = 1$ .

Si $x = ±1$ entonces $x^y$ debe ser 1, por lo que $x+y = ±1$ . No es posible con $y 3$ .

Si $y 3$ y $|x| 2$ entonces $x^y$ crece más rápido que $(x + y)^2$ los únicos valores en los que $(x+y)^2 x^y$ son:

$2^3 = 8 < 25 = (2+3)^2$
$2^4 = 16 < 36 = (2+4)^2$
$2^5 = 32 < 49 = (2+5)^2$
$2^6 = 64 = 64 = (2+6)^2$
$3^3 = 27 < 36 = (3+3)^2$

y la única solución es $2^6 = (2+6)^2 = 64$ .

Resumen: Las únicas soluciones con enteros positivos o negativos son $1^{-2} = (1-2)^2 = 1$ , $1^0 = (1+0)^2 = 1$ , ${-1}^0 = (-1 + 0)^2 = 1$ , ${-1}^2 = (-1 + 2)^2 = 1$ y $2^6 = (2+6)^2 = 64$ .

Answer 2

Esto no es una respuesta. Es una aclaración a un comentario que hice al OP.

$y$ debe ser incluso si $x$ no es un cuadrado perfecto porque:

Desde $y$ es un número entero hay dos posibilidades, o bien $y=2k$ o $y=2k+1$ . Si $y=2k+1$ (impar) entonces

$x^y=x^{2k+1}=(x+2k+1)^2$

$x^\frac{2k+1}{2}=x+2k+1$

$x^k\sqrt{x}=x+2k+1$

Obsérvese que aquí el $RHS$ es un número entero y el $LHS$ también sería un número entero si $x$ es un cuadrado perfecto, de lo contrario el $LHS$ no sería un número entero, lo cual es una contradicción.

Esto significa que si $x$ no es un cuadrado perfecto, entonces $y$ está en paz.