$L^1$ está acotada en casi todas partes

Question

Supongamos que $f\in L^1(\mathbb{R})$ . ¿Es cierto que $f$ está acotado (excepto para un conjunto de medida cero)?

Creo que debe ser cierto, pero no puedo demostrarlo formalmente. Si $f$ es ilimitado, ¿por qué tendríamos $\int_\mathbb{R}|f|dx=\infty$ ?

Answer 1

He aquí un contraejemplo: tomemos la función $f$ definido por $f=0$ en $(-\infty,1]$ , $f(n)=n$ para los enteros $n\ge 2$ , $f\left(n-\frac{1}{n^3}\right)=0=f\left(n+\frac{1}{n^3}\right)$ , $f$ es afín a trozos en $\left[ n-\frac{1}{n^3},n+\frac{1}{n^3} \right]$ y $f$ es cero en otros lugares. $f$ es claramente ilimitado, no negativo y se puede calcular fácilmente su integral y ver (gracias a que $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}<\infty$ ) que $f\in L^1(\mathbb{R})$ .

Answer 2

¿Qué pasa con $x^{\alpha}$ en $(0,1]$ para algunos $\alpha> -1$ ?

Answer 3

Toda función medible es "aproximadamente continua" en casi todas partes. Véase https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Approximate_continuity . A la vista de los ejemplos que se dan en el comentario, esto es lo mejor que se puede esperar.