Mostrar $K_a(x)=\int^{\infty}_0\exp(-x\cosh(t))\cosh(at)dt$ converge

Question

Sea $K_a$ la función de Bessel modificada de la segunda clase de orden $a \geq 0$:

$$K_a(x)=\int^{\infty}_0\exp(-x\cosh(t))\cosh(at)dt$$

$x\in(0,\infty)$

Tomemos $a>0$ y usemos la prueba de comparación para analizar la convergencia de la integral

Bueno, aquí está mi intento:

Voy a intentar expandir con $\cosh(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ para ver si puedo racionalizar y comparar la integral con algo que sé que converge:

$$\int^{\infty}_0e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}dt=\frac{1}{2}\int^{\infty}_0e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)+at}+e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)-at}dt=\frac{1}{2}\int^{\infty}_0e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)+at}dt+\frac{1}{2}\int^{\infty}_0e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)-at}dt$$

Se me ocurrió comparar las integrales por separado, por ejemplo me gustaría compararlas con $\int^{\infty}_0e^{-x}dx$ que sabemos que converge. Pero luego tengo dificultad para mostrar que $-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)+at>-x$ para que la desigualdad $\frac{1}{e^{-x\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)+at}}<\frac{1}{e^{-x}}$ se cumpla. ¿Estoy yendo en buena dirección? Cualquier ayuda sería maravillosa

Answer 1

Puedes comenzar realizando el cambio $e^t=y$

$$K_a(x)=\int^{\infty}_0\,e^{-x\cosh(t)}\cosh(at)dt=\frac{1}{2}\int_1^{\infty}e^{-\frac{x}{2}(y+1/y)}(y^{a-1}+y^{-a-1})dy$$

Ahora, teniendo en cuenta que $-\frac{x}{2}(y+1/y)<-\frac{x}{2}y$ y $y^{-a-1}<1$ para cualquier $y\in(1,\infty)$ obtienes

$$K_a(x)\leq\frac{1}{2}\int_1^{\infty}e^{-\frac{x}{2}y}\,y^{a-1}dy+\frac{1}{2}\int_1^{\infty}e^{-\frac{x}{2}y}\,dy<\boxed{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{x}\right)^a\Gamma(a,x/2)+\frac{1}{x}\Gamma(1,x/2)}$$ Entonces ambas integrales Gamma convergen, al igual que tu integral.