¿Cuál es el término 94 de esta secuencia? $1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,\ldots$

Question

¿Cuál es el término 94 de la siguiente secuencia? $$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,\ldots$$

1. 8

2. 9

3. 10

4. 11

Mi intento: Encontré que la respuesta es la tercera opción, es decir, el término 94 es 10. Como todo número se escribe 2n: n es número natural. Aquí 94 = 2(47) por lo que la suma de los primeros números naturales debe ser mayor o igual a 47. Como $$1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 < 47$$ por lo que las opciones 1,2 no son posibles y $$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 >47$$ Pero este es un proceso largo.

Por favor, díganme la forma más fácil de abordar la respuesta.

Answer 1

Mira las últimas cifras de los números repetidos. Observa la secuencia aritmética: $2,4,6,...,2+2(n-1)$ cuya suma de $n$ términos es: $S_n=(n+1)n$ . Así, la fórmula general es: $a_{S_n}=n$ . Por ejemplo: $$a_{S_\color{red}1}=a_2=\color{red}1\\ a_{S_\color{red}2}=a_6=\color{red}2\\ \vdots\\ a_{S_n}=a_{94}=?$$ Inventamos la ecuación: $$(n+1)n=94 \Rightarrow n^2+n-94=0 \Rightarrow n\approx 9.2>9 \Rightarrow n=10.$$ Verifica: $$S_9=(9+1)\cdot 9=90 \Rightarrow a_{90}=9\\ S_{10}=(10+1)\cdot 9=99 \Rightarrow a_{99}=10$$ Así que, $a_{91}=a_{92}=\cdots=a_{99}=10$ .

Answer 2

Usando su método,
$n(n+1) \lt 94$

Fácil de ver $9*10 = 90$ por lo que el $90$ El valor del término es $9$ .
Y $91$ El primer término es el comienzo del valor $10$ .

$a(a+1)$ tiene el valor $a$ y es el final de ese valor.

Answer 3

Para detectar el $94$ -a término, puedo utilizar las reglas de la progresión aritmética, en particular: $$S_n=\frac{n}{2}(2a_0+(n-1)d)$$ Sustituyendo los números, tengo: $$S_n=\frac{n}{2}(2+2n)$$ Imposig $S_n=94$ obtengo: $n^2+n-94=0$ y así $n=10$ .