Positividad en un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert con producto interior $(\cdot,\cdot)$ y la norma $\|\cdot \|$ . Dejemos que $a,b,c\in H$ tal que $a,b,c\neq 0$ . También $(b,c)=0$ es decir, son ortogonales. ¿Podemos decir que $(a,b)+(a,c)+\|a\|^2>0$ ? Además, si dejamos de lado la ortogonalidad, ¿podemos seguir demostrando el resultado?

Answer 1

No es cierto aunque $b$ y $c$ son ortogonales. Tomemos un conjunto ortonormal $\{b,c\}=\{e_1,e_2\}$ y tomar $a=-\epsilon (b+c)$ . Entonces la desigualdad falla siempre que $0<\epsilon <1$ .