Grupos abelianos de orden $14,27,30,$ y $21$ .

Question

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

1. Cualquier grupo abeliano de orden $27$ es cíclico.

2. Cualquier grupo abeliano de orden $14$ es cíclico.

3. Cualquier grupo abeliano de orden $21$ es cíclico.

4. Cualquier grupo abeliano de orden $30$ es cíclico.

Para $2$ tiene elementos de orden $2$ y $7$ y por tanto un elemento de orden $14$ . Para $3$ tiene elementos de orden $3$ y $7$ y por lo tanto $21$ . Para $4$ tiene elementos de orden $2,3,$ y $5$ y por tanto un elemento de orden $30$ . Así que, $2,3,$ y $4$ son todos grupos cíclicos. Así que supongo que $1$ es falso. Por favor, ayuda.

Answer 1

La primera afirmación puede ser falsa ya que podemos considerar el grupo abeliano aditivo $$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$ Esto tiene 27 elementos, pero ciertamente no es cíclico.

Answer 2

Dejemos que $p$ sea primo y $V$ ser un $n$ -espacio vectorial sobre el campo $\mathbb Z/p$ . Entonces $V$ puede considerarse como un grupo abeliano cuya operación es la suma de vectores.

El orden de $V$ es $p^n$ tomando todas las combinaciones lineales posibles del $n$ elementos de base.
Para cualquier $x$ en $V$ , $\sum_{i=0}^px=px=0$ desde $p=0$ en el campo base. Así, cuando $n>1$ no hay ningún generador de $V$ .

Esto demuestra que existe un grupo no cíclico de orden $p^n$ siempre que $p$ es primo y $n>1$ .