Congruencias módulo un primo p

Question

¿Cómo se puede demostrar que (para $a \in \mathbb{Z}$ ) $x^{2}+a^{2}$ divide $x^{p-1}-1$ , módulo de un primo $p$ , donde $p\equiv 1 \mod 4$ ?

Mi primera idea fue utilizar el hecho de que existe un $u$ tal que $u^{2}\equiv -1 \mod p$ y el factor para obtener $(x+ua)(x-ua)\equiv x^2 + a^2 \mod p$ . Aunque, no puedo relacionar eso con $x^{p-1}-1$ .

Answer 1

Pista: por el pequeño teorema de Fermat, tenemos $x^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ .

Answer 2

Sugerencia $\ $ Por el pequeño Fermat, $\rm\,\pm ua \:$ son raíces de $\rm\:f(x) = x^{p-1}\!-1\:$ por lo tanto, por el Teorema del Factor, $\rm\:f(x),\:$ es divisible por $\rm\:x\!-\!ua,\:$ y $\rm\:x\!+\!ua,\:$ así también por su producto $\rm\:x^2\!+a^2,\:$ ya que las raíces son distinto (¿por qué?)

Nota: $\ $ Obsérvese que la última inferencia depende fundamentalmente de $\rm\:p\:$ ser primordial. Puede fallar en caso contrario, por ejemplo $\rm\: mod\ 8\!:\ f(x) = x^2\!-1\:$ tiene raíces $\rm\:x = 1,3\:$ por lo que $\rm\:f(x)\:$ es divisible por ambos $\rm\:x-1\:$ y $\rm\:x-3,\:$ pero es no divisible por su producto.

Answer 3

Si el primo $p>2, p$ es impar,

$x^{p-1}=(x^2)^{\frac{p-1}2}=(-a^2)^{\frac{p-1}2}$ (Poniendo $x^2=-a^2$ )

$x^{p-1}=(-1)^{\frac{p-1}2}\cdot a^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}2}\pmod p$ utilizando el pequeño teorema de Fermat, $a^{p-1}\equiv1\pmod p$

Pero $x^{p-1}\equiv1\pmod p$

$\implies (-1)^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p$

Si $\frac{p-1}2$ es impar, si $\frac{p-1}2=2k+1,p=4k+3\equiv3\pmod 4$ para algún número entero $k,$

$(-1)^{\frac{p-1}2}\equiv-1\pmod p\implies -1\equiv1\pmod p\implies 2$ divide $p$ pero $p$ es impar

De igual manera, pruebe cuando $\frac{p-1}2$ es incluso