Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Question

Tengo el siguiente sistema: $$dx/dt=y ;$$

$$dy/dt=x+yz ;$$

$$dz/dt=x+y^2+xz.$$ Trabajo en este sistema que no tiene primera integral y superficie algebraica invariante. Así que quiero resolverlo por métodos numéricos. ¿Puedo resolverlo por el método Runge-Kutta? ¿Cómo puedo elegir el punto inicial?

Answer 1

Sí, se puede resolver este sistema utilizando el Método Runge-Kutta pero este problema tiene singularidades con las que hay que tener cuidado.

Aquí está la solución usando el solucionador numérico incorporado de Mathematica.

  system = {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t] + y[t]*z[t],z'[t] == x[t] + y[t]^2 + x[t]*z[t], x[0] == 1, z[0] == 1, y[0] == 1}

  NDSolve[system, {x[t], y[t], z[t]}, {t, 0, 0.5}]

  Plot[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]} /. First[%]], {t, 0, 1/2}]

Aquí está usando Runge-Kutta

  mma = NDSolve[system, {x[t], y[t], z[t]}, {t, 0, 0.5}, Method -> "ExplicitRungeKutta", "StartingStepSize" -> 1/5]

  Plot[{{x[t], y[t], z[t]} /. mma}, {t, 0, 0.5}]

En ambos casos, acabo de seleccionar un CI al azar de $(x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1)$ pero ciertamente jugaría con diferentes valores.