Cálculo del límite de una secuencia compleja en coordenadas polares frente a coordenadas complejas "normales

Question

Primero: Perdón por haber escrito coordiantes complejos "normales". Ni idea de cómo se llaman correctamente =(

Este ejemplo debería mostrarme (creo) los problemas que se producen al pasar a coordenadas polares:

Cuando

$z_n=-2 + i\frac{(-1)^n}{n^2}, \quad n=1,2,...$

podemos escribir

$\lim_{n\to\infty} z_n = \lim_{n\to\infty} (-2) + i \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-2 + i\cdot 0 = -2$

Si, utilizando coordenadas polares, escribimos

$r_n = |z_n|$ y $\Phi=Arg z_n, \quad n=1,2,...$

donde $Arg z_n$ denota los argumentos principales $(-\pi < \Phi \leq \pi)$ de $z_n$ encontramos que

$\lim_{n\to\infty} r_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt{4+\frac{1}{n^4}} = 2$

pero que

$\lim_{n\to\infty} \Phi_{2n}=\pi$ y $\lim_{n\to\infty} \Phi_{2n-1}=-\pi$

Evidentemente, entonces, el límite de $\Phi$ no existe como $n$ tiende al infinito.

Pregunta: Me preguntaba qué debería sacar de esto. ¿Significa que la existencia de un límite de una secuencia compleja depende del sistema de coordenadas elegido? Si no es así, ¿cómo podría calcularlo correctamente en coordiantes polares?

Answer 1

El problema radica únicamente en que has elegido trabajar con el argumento principal en una situación en la que el límite es un número real negativo. Esa es precisamente la línea en la que hay problemas con este enfoque. Si hubieras decidido trabajar con la misma sucesión pero utilizando en su lugar el argumento que pertenece a, digamos, $(0,2\pi)$ no habría habido ningún problema.