El espacio de los rayos en R^n que salen del origen

Question

Tengo una pregunta rápida. Investigando un poco en el Procesamiento del Lenguaje Natural me estoy encontrando con el espacio de los rayos en $\mathbb{R}^n$ saliendo del origen, es decir, el espacio $\mathbb{R}^n/\sim$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia definida por $a\sim b$ $\Leftrightarrow$ $\lambda>0$ tal que $a=\lambda b$ .

Este espacio es similar al espacio real proyectivo $\mathbb{RP}^n$ pero no es lo mismo, ¿este espacio tiene un nombre? Lo he buscado pero no he encontrado nada.

Answer 1

Pueden ser dos cosas muy diferentes, dependiendo de si se considera $(\Bbb R^n\setminus \{0\})/\sim$ o $\Bbb R^n/\sim$ .

En la primera situación, sí puede identificarse con la esfera, como ha señalado Andrew Maurer en los comentarios. Una forma rápida (dame un toque, si quieres que me explaye) de verlo sería, por ejemplo, observando que $$\begin{array}{rcl} \Bbb S^n & \rightarrow &(\Bbb R^n\setminus\{0\})/\sim\\ x & \mapsto & [x] \end{array}$$ define una biyección continua desde un espacio compacto $\Bbb S^n$ al espacio de Hausdorff $(\Bbb R^n\setminus\{0\})/\sim$ por lo que es un homeomorfismo. La continuidad se detecta observando que el mapa es simplemente el compuesto $$\Bbb S^n \rightarrow \Bbb R^n\setminus\{0\} \rightarrow (\Bbb R^n\setminus\{0\})/\sim$$ Es biyectiva por definición y es Hausdorff dado que la relación de equivalencia es inducida por una bueno acción de grupo $\Bbb R_{+} \curvearrowright \Bbb R^n\setminus\{0\}$ .

En el caso de tener $\Bbb R^n/\sim$ las cosas se complican un poco más. Obsérvese que, por definición de la topología del cociente, todo subconjunto abierto contiene la clase de equivalencia de 0, lo que lo convierte en un punto denso. En particular, este cociente es no Hausdorff, por lo que no será homeomorfo a ninguna de las bonito espacios.