Encontrar el límite, la multiplicación por el conjugado

Question

Necesito encontrar $$\lim_{x\to 1} \frac{2-\sqrt{3+x}}{x-1}$$

Lo intenté y lo intenté... amigos míos también lo intentaron y no sabemos cómo salir de:

$$\lim_{x\to 1} \frac{x+1}{(x-1)(2+\sqrt{3+x})}$$

(esto es lo que obtenemos después de multiplicar por el conjugado de $2 + \sqrt{3+x}$ )

¿Cómo proceder? Tal vez algunas pistas, realmente tratamos de averiguar, puede pasar a ser simple (probablemente, en realidad), pero no soy capaz de verlo. Además, sé que la respuesta es $-\frac{1}{4}$ y al utilizar la regla de l'Hôpital soy capaz de obtener la respuesta correcta a partir de ella.

Answer 1

La idea es correcta: el problema está en la simplificación del numerador:

$$\begin{align} (2 - \sqrt{3 + x})(2 + \sqrt{3 + x}) & = 2^2 - \left(\sqrt{(3 + x)}\right)^2 \\ \\ & = 4 - (3 + x) \\ \\ & = 4 - 3 - x \\ \\ & = 1 - x = -(x - 1) \end{align}$$

Eso te da $$\begin{align} \lim_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(2 + \sqrt{3 + x}} & = \lim_{x\to 1} \frac{-1}{2 + \sqrt{3 + x}} & = -\frac 14 \end{align}$$

Answer 2

Multiplicar por el conjugado sí funciona. Sólo que te has olvidado de llevar el signo negativo durante todo el proceso. Después de multiplicar por el conjugado, la expresión correcta es $\frac{1-x}{(x-1)(2+\sqrt{3+x})}$

Answer 3

Multiplica el numerador y el denominador por $2+\sqrt{3+x}$ simplificar, anular. Obtengo $-\frac{1}{4}$