Si todos los $L^p$ están acotadas, entonces la $L^\infty$ está acotado

Question

Supongamos que $||f||_p \le K$ para todos $1 \le p <\infty$ para algunos $K>0$ . Cómo demostrar que el supremum esencial existe y está limitado por $K$ que es $||f||_\infty \le K$ ?

Sé cómo probar que si $f \in L^\infty$ entonces $$\begin{align} lim_{p \to \infty} ||f||_p=||f||_\infty \end{align}$$ pero esto ya supone que $f \in L^\infty$ en esta pregunta tenemos que demostrar que $f$ tiene un supremacía esencial. Para ser más preciso no creo que pueda utilizar una técnica cuando defina $$\begin{align} A_\epsilon =\{ x | \ |f(x)|>||f||_{\infty}-\epsilon \} \end{align}$$

Me parece que aquí hay que usar algún teorema de convergencia. Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Supongamos que $\| f \|_\infty=\infty$ . Dejemos que $M>0$ . Definir $A_M=\{ |f| \geq M \}$ . Entonces $\mu(A_M)>0$ . Toma $p$ tan grande que $\mu(A_M)^{1/p} \geq 1/2$ entonces $\| f \|_p \geq (\mu(A_M) M^p)^{1/p} \geq M/2$ . Desde $M$ era arbitraria, $f$ no está uniformemente acotado en $L^p$ y su resultado se deduce por contraposición.

Este es esencialmente el argumento sugerido por John Ma en los comentarios, pero la disociación $M$ y $p$ .

Answer 2

Voy a suponer que $f\geq 0$ (en caso contrario, sustituir $f$ con $|f|$ ). Considere $$g = \min(f,K + 1)\in L^{\infty}.$$ Entonces $\|g\|_p\leq \|f\|_p\leq K$ por lo que $$\|g\|_\infty = \lim_{p \rightarrow \infty} \|g\|_p \leq K$$ así que $$\min(f,K + 1) \leq K \ \ \ a.e. \implies f\leq K a.e.$$