versión más débil del teorema de convergencia de la martingala

Question

Dejemos que $\mathcal{A}_n$ sea una secuencia de álgebras sigma finitas, sea $\mathcal{B}_{q,p}= \sigma(\mathcal{A}_n, q \geq n \geq p )$ . Además, suponemos que $\mathcal{A}_k \subset \mathcal{B}_{\infty,p}$ para cualquier $k <p$ .

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que sea $\mathcal{B}_{\infty,p}$ medible para cualquier número entero $p$ .

Dejemos que $u_{q,p}= E[ |E[X|\mathcal{B}_{q,p}]-E[X|\mathcal{A}_q] |^2]$ .

Suponemos que para cualquier $p \geq 1$ , $u_{q+1,p}=u_{q,p-1}$ (esto es un equivalente más débil de la condición de "filtración" en el teorema de convergencia de la martingala) , y que $u_{n+1,0}-u_{n,0} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty} 0$ .

¿Es cierto que casi seguramente, $E[X|\mathcal{A}_n] \rightarrow_{n \rightarrow + \infty} X$ .

Si no es así, ¿puede dar un contraejemplo?

Answer 1

No dejar $\mathcal A_{2n} = \mathcal A$ y $\mathcal A_{2n +1} = \{ \emptyset, \Omega \}$ y $X$ sea $\mathcal A$ medible (y no constante).