La prueba de que en la mayoría uno de $e\pi$ y $e+\pi$ puede ser racional

Question

$e$ $\pi$ son bastante peculiar números. Resulta que, en además de ser los números irracionales, que también son trascendentales números. Básicamente, un número es trascendental si no hay polinomios con coeficientes racionales que tienen ese número como un de la raíz.

Claramente, $p(x) = (x-e)(x-\pi)$ es un polinomio cuyas raíces son $e$$\pi$, por lo que sus coeficientes no pueden ser racional, por la definición de trascendental números. La expansión de esa expresión, obtenemos

$$(x-e)(x-\pi) = x^2 - (e+ \pi)x + e\pi$$

Esto significa que $1, -(e+\pi), e\pi$ no puede ser racional. Si todos los coeficientes racionales, se habría encontrado un polinomio con racional de los coeficientes de que había $e$ $\pi$ como raíces, y que ha sido demostrado que es imposible ya. Hermite demostrado que $e$ es trascendental en 1873, y Lindemann demostró que $\pi$ es trascendental en 1882. De hecho, Lindemann la prueba fue similar a la de Hermite de la prueba y se basa en el hecho de que $e$ es también trascendental.

En otras palabras, en la mayoría de los una de $e+\pi$ $e\pi$ es racional. (Sabemos que ambos no pueden ser racional, de tal manera que la mayoría de nosotros puede decir). Hay más condiciones necesarias para que esta prueba sea correcta?

Answer 1

La prueba es correcta. Para un nit-pick, si dices que tienes un cero polinómico.

Tenga en cuenta que incluso bastaría saber que al menos uno de $\pi$ y $e$ es trascendental.

Answer 2

Que realmente no necesitamos usar el hecho de que tanto $\pi$ $e$ son trascendentales números. Si tanto $e\pi$ $\pi+e$ sería números racionales, a continuación, $e$ sería una ecuación cuadrática irracional, por lo que la continuación de su fracción sería eventualmente periódico debido a Lagrange del teorema. Sin embargo, la continuación de la fracción de $e$ es conocida:

$$ e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots] $$ y sus coeficientes son ilimitados.