$e$ $\pi$ son bastante peculiar números. Resulta que, en además de ser los números irracionales, que también son trascendentales números. Básicamente, un número es trascendental si no hay polinomios con coeficientes racionales que tienen ese número como un de la raíz.
Claramente, $p(x) = (x-e)(x-\pi)$ es un polinomio cuyas raíces son $e$$\pi$, por lo que sus coeficientes no pueden ser racional, por la definición de trascendental números. La expansión de esa expresión, obtenemos
$$(x-e)(x-\pi) = x^2 - (e+ \pi)x + e\pi$$
Esto significa que $1, -(e+\pi), e\pi$ no puede ser racional. Si todos los coeficientes racionales, se habría encontrado un polinomio con racional de los coeficientes de que había $e$ $\pi$ como raíces, y que ha sido demostrado que es imposible ya. Hermite demostrado que $e$ es trascendental en 1873, y Lindemann demostró que $\pi$ es trascendental en 1882. De hecho, Lindemann la prueba fue similar a la de Hermite de la prueba y se basa en el hecho de que $e$ es también trascendental.
En otras palabras, en la mayoría de los una de $e+\pi$ $e\pi$ es racional. (Sabemos que ambos no pueden ser racional, de tal manera que la mayoría de nosotros puede decir). Hay más condiciones necesarias para que esta prueba sea correcta?