¿Cómo demostrar que dos enteros son coprimos en una combinación lineal?

Question

Demostrar que $a$ y $b$ son relativamente primos si y sólo si 1 es expresable como una combinación lineal de $a$ y $b$ . Utilizando este hecho, demuestre que dos enteros consecutivos cualesquiera son relativamente primos.

Pues la combinación lineal es $1=ax+by$ . Pero, ¿cómo puedo mostrar $a$ y $b$ son relativamente primos. Sé que relativamente primo significa que ambos números no tienen ningún divisor común entre los dos excepto uno. He expresado la combinación lineal, pero ¿cómo se demuestra $a$ y $b$ son coprimas.

Answer 1

Supongamos que no son relativamente primos, con factor común $d > 1$ . Entonces, como $d$ divide $a$ y $d$ divide $b$ , necesariamente tienes que $d$ divide el lado derecho $ax + by$ y por lo tanto $d$ divide $1$ .

Esto demuestra que si $ax + by = 1$ entonces $a$ y $b$ son relativamente primos.