¿Por qué cuando restringimos la homotopía a $t=0$ y $t=1$ obtenemos $\phi_{0*}([f])=\beta_h(\phi_{1*}([f]))$ ?

Question

Hay una última línea de una prueba que no entiendo muy bien.

Está tomada de la topología algebraica de Hatcher, capítulo 1, página 37.

Entiendo todas las líneas de la prueba excepto la última parte.

Mi pregunta es: ¿por qué cuando restringimos la homotopía a $t=0$ y $t=1$ obtenemos $\phi_{0*}([f])=\beta_h(\phi_{1*}([f]))$ ?

El diagrama de la prueba no parece explicar en términos de $\phi_{0*}$ y $\beta_h$ . Puede que sea una pregunta obvia, pero no entiendo la razón de ello.

¿Podría alguien ayudar en la explicación?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $h_0$ es un bucle que es constante en $\varphi_0(x_0)$ . Por lo tanto, el establecimiento de $t = 0$ en $h_t \cdot (\varphi_t f) \cdot \overline{h_t}$ da algo homotópico a $\varphi_0 f$ . Para $t = 1$ tenemos $h_1 = h$ y por lo tanto $[h_1 \cdot (\varphi_1 f) \cdot \overline{h_1}] = \beta_h([\varphi_1 f])$ por definición de $\beta_h$ .

Por lo tanto, a través de la homotopía $h_t \cdot (\varphi_t f) \cdot \overline{h_t}$ tenemos $[\varphi_0 f] = \beta_h([\varphi_1 f])$ o (por definición de $\varphi_{i,*}$ ) $$\varphi_{0*}([f])=\beta_h(\varphi_{1*}([f])).$$