Determinante de la matriz que es diagonal, pero para la última fila/columna

Question

Me gustaría calcular el determinante de una simétrica $(K+1)\times (K+1)$ matriz en la que la parte superior izquierda $K \times K$ es diagonal pero la matriz $(K+1)$ La fila y la columna están completas. Por ejemplo $$ X = \begin{bmatrix} x_1 & 0 & \dots & 0 & y_1 \\ 0 & x_2 & \dots & 0 & y_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & x_K & y_K \\ y_1 & y_2 & \dots & y_K & y_{K+1} \end{bmatrix} $$ ¿Existe una forma sencilla de calcular $\det(X)$ ?

Nota: se hizo una pregunta similar para una matriz con la misma forma pero con más restricciones en las entradas:

Determinante de una matriz casi diagonal

Sin embargo, no veo que la respuesta a esta pregunta ayude aquí.

Answer 1

Por consideraciones estéticas sugeridas por Michael Hoppe, cambiaré el nombre de $K$ en $n$ y $y_{K+1}$ en $x_{n+1}$ por lo que la matriz cuyo determinante se busca es

$$A=\begin{pmatrix} x_1 & 0 & \dots & 0 & y_1 \\ 0 & x_2 & \dots & 0 & y_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & x_n & y_n \\ y_1 & y_2 & \dots & y_n & x_{n+1} \end{pmatrix}. $$

Primer método. Utilice la expansión del determinante con respecto a la última columna para obtener

$$\mathrm{det}(A) = x_1...x_n x_{n+1} + \sum_{i=1}^n(-1)^{n+1+i} \mathrm{det}(A_i)$$

donde $A_i$ es la matriz $A$ privado de su última columna y $i$ -ésima fila. Por ejemplo,

$$A_1 = \begin{pmatrix}0& x_2 &0& ... &0 \\ 0 & 0 & x_3 & ... & 0 \\ \vdots & & & \ddots& \vdots\\ 0 & & ... & & x_n\\ y_1 & &... && y_n \\ \end{pmatrix}. $$ Utilizar la expansión de filas para $A_i$ es fácil ver que $\mathrm{det}(A_i)$ es igual a $(-1)^{n+i} y_i \prod_{j \neq i} x_j$ , que yelda

\begin{align*}\mathrm{det}(A) &= \prod_{i=1}^{n+1} x_i - \sum_{i=1}^n y_i^2 \prod_{j \neq i, j\leqslant n}x_j \\ &= \prod_{i=1}^{n+1}x_i \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{x_i}\right). \end{align*}

Editar (segundo método, pista) . Esta última expresión sugiere otro método (tal vez no funcione) : supongamos que no $x_i$ es cero. Nota: $X = \mathrm{diag}(x_1, ..., x_{n+1})$ y $Y = A - X$ para que $A = X+Y = X(\mathrm{Id}+X^{-1}Y)$ . Entonces, $\mathrm{det}(A) = \mathrm{det}(X) \mathrm{det}(\mathrm{Id} - X^{-1}Y)$ . Ahora, todo lo que tienes que hacer es calcular $\mathrm{det}(\mathrm{Id} - X^{-1}Y)$ . Tal vez haya una forma sencilla de hacerlo (no lo sé).

Answer 2

Yo haría una expansión de Laplace a lo largo de la última fila/columna: $$\det X=\sum_{j=1}^{K+1} (-1)^{j+1} y_j \det X_j,$$ donde $X_j$ se obtiene borrando el $j$ La última fila y la última columna de $X$ . Entonces $$\det X_{K+1}=x_1\cdot\ldots\cdot x_K$$ es fácil. Para los demás, hay que hacer una segunda expansión de Laplace: $$X_1=\left( \begin{matrix} 0 & x_2 & 0 & \cdots & y_2 \\ 0 & 0 & x_3 & \cdots & y_3 \\ \vdots & & & & \vdots \\ y_1 & 0 & 0 & \cdots & y_{K+1} \end{matrix} \right)$$ así que $$\det X_1=y_1 \det \left( \begin{matrix} x_2 & 0 & \cdots & y_2 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & y_{K+1} \end{matrix} \right)=y_1x_2\ldots x_K y_{K+1}$$ ya que la matriz restante es triangular superior. Funciona de forma análoga para $X_2,\ldots,X_K$ pero ten cuidado con las señales.

Answer 3

Pues sí, la respuesta dada en la otra pregunta debería ayudarte mucho. Suponiendo que el $x_i$ no son cero, puedes utilizar la eliminación gaussiana para convertir tu matriz en una matriz triangular y luego leer el determinante.

Si $x_i$ es cero para algunos $i$ una expansión de Laplace utilizando la $i$ -en la fila o en la columna debería ayudar a reducir el problema.

Answer 4

$\def\m#1{\left[\begin{array}{r}#1\end{array}\right]}$ Dada una matriz de bloques $$X = \m{A&B\\C&D}$$ el determinante es $$\det(X) = \det\left(D-CA^{-1}B\right)\cdot\det(A)$$ Para el problema actual, esto resulta en $$\det(X) = \left(y_{K+1}-\sum_{i=1}^K\frac{y^2_i}{x_i}\right)\cdot \left(\prod_{\ell=1}^K x_\ell\right)$$